Seja a função polinomial definida por f(x) = x^4 - 1. Com o uso da primeira e segunda derivadas dessa função é possível calcular possíveis pontos de máximo e/ou mínimo, avaliar a concavidade em intervalos conhecidos e descobrir se a função possui pontos de inflexão. Aplicando a teoria que permite calcular pontos de inflexão e avaliar a concavidade de funções, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o ponto de inflexão de f(x) e o intervalo onde a concavidade está voltada para cima dessa mesma função. Escolha uma:
a. O ponto de inflexão é (0,1) e o intervalo que apresenta concavidade para cima é (-1,1)
b. O ponto de inflexão é (0,0) e o intervalo que apresenta concavidade para cima é (-∞, +∞)
c. O ponto de inflexão é (-1,0) e o intervalo que apresenta concavidade para cima é (-∞, +∞)
d. O ponto de inflexão é (0,-1) e o intervalo que apresenta concavidade para cima é (-∞, +∞)
e. O ponto de inflexão é (0,0) e o intervalo que apresenta concavidade para cima é (-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente tem uma função polinomial $ f(x) = x^4 - 1 $. A questão pede para encontrar o ponto de inflexão dessa função e o intervalo onde a concavidade está voltada para cima. Para isso, vamos usar a primeira e a segunda derivadas da função. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas e entender o que elas dizem sobre a função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A primeira derivada, $ f’(x) $, nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A função é:
f(x)
Derivando em relação a $ x $:
f'(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ f’’(x) $, que nos ajuda a entender a concavidade da função e a encontrar pontos de inflexão.
Derivando $ f’(x) $ novamente:
f''(x)

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos achar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde $ f’’(x) = 0 $.
Resolvendo:
f''(x) = 0
12x^2 = 0
x^2 = 0
Então, há um ponto de inflexão em $ x = 0 $.

Passo 5

Vamos verificar o valor de $ f(x) $ nesse ponto de inflexão:
f(x)
Portanto, o ponto de inflexão é $ (0, -1) $.

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função. A segunda derivada $ f’’(x) = 12x^2 $ é sempre positiva, já que $ x^2 $ é sempre não negativo e multiplicado por 12 continua positivo ou zero.
Isso significa que a concavidade da função está voltada para cima em todo o domínio de $ x $, ou seja, no intervalo $ (-\infty, +\infty) $.

Resposta

A alternativa correta é a d. O ponto de inflexão é (0,-1) e o intervalo que apresenta concavidade para cima é (-∞, +∞).

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