Seja uma função real de variável real definida por f(x) = x(3-x) + (x-1)².
a) mostre que se trata de uma função afim
b) determine sua raiz
c) determine x de modo que f(x) > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x(3 - x) + (x - 1)^2 $. O exercício está dividido em três partes:
a) Mostrar que essa função é afim.
b) Encontrar a raiz da função.
c) Determinar para quais valores de $ x $ a função é maior que zero.
Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função, conhecer um pouco sobre funções afins, resolver equações e inequações.

Passo 2

Parte a: Mostrar que a função é afim
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ f(x) $:
f(x)
Vamos expandir cada parte:
f(x) = x(3 - x) + (x - 1)^2
x(3 - x) = 3x - x^2
Agora, somamos as duas partes:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
Os termos $ -x^2 $ e $ +x^2 $ se cancelam:
f(x) = (3x - x^2) + (x^2 - 2x + 1) = 3x - x^2 + x^2 - 2x + 1
Então, a função simplifica para:
-x^2
Uma função do tipo $ f(x) = mx + b $ é chamada de função afim, onde $ m $ é o coeficiente angular e $ b $ é o termo constante. No nosso caso, $ m = 1 $ e $ b = 1 $, portanto, $ f(x) $ é uma função afim.

Passo 3

Parte b: Determinar a raiz da função
A raiz de uma função é o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Então, vamos resolver:
x
Subtraindo 1 de ambos os lados:
f(x) = 0
Portanto, a raiz da função é $ x = -1 $.

Passo 4

Parte c: Determinar para quais valores de $ x $ a função é maior que zero
Queremos encontrar os valores de $ x $ para os quais:
x
Resolvendo a inequação:
x
Então, a função $ f(x) $ é maior que zero para todos os valores de $ x $ maiores que $ -1 $.

Resposta

a) A função é afim e pode ser escrita como $ f(x) = x + 1 $.
b) A raiz da função é $ x = -1 $.
c) $ f(x) > 0 $ para todo $ x > -1 $.

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