Seja uma função real de variável real definida por f(x) = x(3-x) + (x-1)².
a) mostre que se trata de uma função afim
b) determine sua raiz
c) determine x de modo que f(x) > 0
a) mostre que se trata de uma função afim
b) determine sua raiz
c) determine x de modo que f(x) > 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x(3 - x) + (x - 1)^2 $. O exercício está dividido em três partes:
a) Mostrar que essa função é afim.
b) Encontrar a raiz da função.
c) Determinar para quais valores de $ x $ a função é maior que zero.
Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função, conhecer um pouco sobre funções afins, resolver equações e inequações.
a) Mostrar que essa função é afim.
b) Encontrar a raiz da função.
c) Determinar para quais valores de $ x $ a função é maior que zero.
Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função, conhecer um pouco sobre funções afins, resolver equações e inequações.
Passo 2
Parte a: Mostrar que a função é afim
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ f(x) $:
Vamos expandir cada parte:
Agora, somamos as duas partes:
Os termos $ -x^2 $ e $ +x^2 $ se cancelam:
Então, a função simplifica para:
Uma função do tipo $ f(x) = mx + b $ é chamada de função afim, onde $ m $ é o coeficiente angular e $ b $ é o termo constante. No nosso caso, $ m = 1 $ e $ b = 1 $, portanto, $ f(x) $ é uma função afim.
Passo 3
Parte b: Determinar a raiz da função
A raiz de uma função é o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Então, vamos resolver:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Portanto, a raiz da função é $ x = -1 $.
Passo 4
Parte c: Determinar para quais valores de $ x $ a função é maior que zero
Queremos encontrar os valores de $ x $ para os quais:
Resolvendo a inequação:
Então, a função $ f(x) $ é maior que zero para todos os valores de $ x $ maiores que $ -1 $.
Resposta
a) A função é afim e pode ser escrita como $ f(x) = x + 1 $.
b) A raiz da função é $ x = -1 $.
c) $ f(x) > 0 $ para todo $ x > -1 $.