A equação geral do plano será dada por: ax+by+cz+d=0, em que d= (ax+by+cz), que são coordenadas de um ponto no plano. Ao usar esse conceito, determine a equação geral do plano que contém o ponto (0,1,3) e que seja ortogonal ao vetor n=(3,2,5). Em seguida, assinale a alternativa correta.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica que envolve encontrar a equação geral de um plano. O enunciado pede para determinar a equação do plano que contém o ponto $ (0, 1, 3) $ e é ortogonal ao vetor $ \mathbf{n} = (3, 2, 5) $. Para isso, vamos usar a fórmula geral do plano e o conceito de produto escalar para encontrar os coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de um plano:
Onde $ \mathbf{n} = (a, b, c) $ é o vetor normal ao plano. Neste caso, nos foi dado que o vetor normal é $ \mathbf{n} = (3, 2, 5) $. Portanto, já sabemos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de $ d $. Sabemos que o ponto $ (0, 1, 3) $ está no plano, então podemos substituir essas coordenadas na equação do plano para encontrar $ d $:
Passo 4
Resolvendo a equação para $ d $:
Passo 5
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a equação geral do plano:
Resposta
A equação geral do plano é: