Seja g(x) = π ln(x2sen2x), definida para 0 < x < π 2 . Determine o valor da taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ g(x) = \pi \ln(x^2 \sin^2 x) $, e precisamos descobrir qual é a taxa de variação dessa função em relação a $ x $ quando $ x = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ g(x) $. Sabemos que $ \ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b $, então podemos separar os termos dentro do logaritmo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais usando a propriedade $ \ln(a^b) = b \ln a $:
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação, precisamos calcular a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $. Vamos derivar cada termo separadamente:
E para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada total de $ g(x) $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x = \frac{\pi}{4} $ na derivada para encontrar a taxa de variação nesse ponto:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação de $ g(x) $ em relação a $ x $ no instante $ x = \frac{\pi}{4} $ é $ 8 + 2\pi $.