Seja g(x) = π ln⁡(x2sen2x), definida para 0 < x < π 2 . Determine o valor da taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ g(x) = \pi \ln(x^2 \sin^2 x) $, e precisamos descobrir qual é a taxa de variação dessa função em relação a $ x $ quando $ x = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ g(x) $. Sabemos que $ \ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b $, então podemos separar os termos dentro do logaritmo:
g(x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais usando a propriedade $ \ln(a^b) = b \ln a $:
ln(a^b) = b ln a

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação, precisamos calcular a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $. Vamos derivar cada termo separadamente:
g(x)
E para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
x

Passo 5

Juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada total de $ g(x) $:
g(x)

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x = \frac{\pi}{4} $ na derivada para encontrar a taxa de variação nesse ponto:
x = pi4
Simplificando:
g'(pi4) = 2pipi4 + 2pi cot(pi4)

Resposta

A taxa de variação de $ g(x) $ em relação a $ x $ no instante $ x = \frac{\pi}{4} $ é $ 8 + 2\pi $.

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