Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x + 1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a
a)3/2
b) 2.
c)5/2
d) 3.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma progressão geométrica onde os três primeiros termos são 1, 2x e -3x + 1. Sabendo que todos os termos são positivos, queremos encontrar a soma infinita dessa progressão. Para resolver isso, precisaremos entender como funciona uma progressão geométrica e utilizar a fórmula da soma infinita.

Passo 2

Em uma progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante r. Portanto, a razão r pode ser encontrada dividindo-se o segundo termo pelo primeiro:
r = 2x1 = 2x

Passo 3

Como a razão é constante, podemos igualar a razão obtida entre o segundo e o terceiro termo:
r = -3x + 12x
Substituindo r = 2x:
2x = -3x + 12x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x. Multiplicando ambos os lados por 2x:
2x cdot 2x = -3x + 1
4x^2 = -3x + 1

Passo 5

Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática:
4x^2 + 3x - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4, b = 3 e c = -1:
x = -3 pm raiz9 + 168 = -3 pm 58
Isso resulta em duas soluções:
x = 28 = 14 ou x = -88 = -1

Passo 6

Como todos os termos da progressão precisam ser positivos, descartamos x = -1 porque resultaria em termos negativos. Portanto, x = 14.

Passo 7

Agora, encontramos a razão r:
r = 2x = 2 cdot 14 = 12

Passo 8

Com a razão r = 12 e o primeiro termo a = 1, podemos usar a fórmula da soma infinita de uma PG, que é válida quando |r| < 1:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 11 - 12 = 112 = 2

Resposta

A soma infinita da progressão geométrica é igual a 2.

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