Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x + 1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a
a)3/2
b) 2.
c)5/2
d) 3.
a)3/2
b) 2.
c)5/2
d) 3.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma progressão geométrica onde os três primeiros termos são 1,
e
. Sabendo que todos os termos são positivos, queremos encontrar a soma infinita dessa progressão. Para resolver isso, precisaremos entender como funciona uma progressão geométrica e utilizar a fórmula da soma infinita.
Passo 2
Em uma progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
. Portanto, a razão
pode ser encontrada dividindo-se o segundo termo pelo primeiro:
Passo 3
Como a razão é constante, podemos igualar a razão obtida entre o segundo e o terceiro termo:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
Onde
,
e
:
Isso resulta em duas soluções:
Passo 6
Como todos os termos da progressão precisam ser positivos, descartamos
porque resultaria em termos negativos. Portanto,
.
Passo 7
Agora, encontramos a razão
:
Passo 8
Com a razão
e o primeiro termo
, podemos usar a fórmula da soma infinita de uma PG, que é válida quando
:
Substituindo os valores:
Resposta
A soma infinita da progressão geométrica é igual a 2.