Seja uma função diferenciável de uma variável real e seja . Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com uma função de duas variáveis, , onde é uma função diferenciável. A missão é mostrar que . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um produto de duas partes: e . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto.
A derivada de em relação a é .
Agora, derivamos em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, temos um produto: e .
A derivada de em relação a é .
Para derivar em relação a , aplicamos a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar pela derivada parcial em relação a e pela derivada parcial em relação a :