Seja phi: R R uma função diferenciável de uma variável real e seja f(x, y)=(x^2+y^2) phi(xy). Mostre que
x partial fpartial x+y partial fpartial y=2 f

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com uma função de duas variáveis, , onde é uma função diferenciável. A missão é mostrar que . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de ddx phi(xy) = phi'(xy) cdot 1y em relação a partial fpartial x = (2x) cdot phi(xy) + (x^2 + y^2) cdot phi'(xy) cdot 1y , ou seja, . A função é um produto de duas partes: e . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto.
A derivada de em relação a é .
Agora, derivamos em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de ddy phi(xy) = phi'(xy) cdot (-xy^2) em relação a partial fpartial y = (2y) cdot phi(xy) + (x^2 + y^2) cdot phi'(xy) cdot (-xy^2) , ou seja, .
Novamente, temos um produto: e .
A derivada de em relação a é .
Para derivar em relação a , aplicamos a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar x partial fpartial x = x [2x phi(xy) + (x^2 + y^2) phi'(xy)y] pela derivada parcial em relação a y partial fpartial y = y [2y phi(xy) - (x^2 + y^2) xy^2 phi'(xy)] e pela derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos simplificar cada expressão:
Para x cdot 2x phi(xy) = 2x^2 phi(xy) :
x cdot (x^2 + y^2) phi'(xy)y = x(x^2 + y^2)y phi'(xy)
y cdot 2y phi(xy) = 2y^2 phi(xy)
Para y cdot (-x(x^2 + y^2)y^2) phi'(xy) = -x(x^2 + y^2)y phi'(xy) :
2x^2 phi(xy) + x(x^2 + y^2)y phi'(xy) + 2y^2 phi(xy) - x(x^2 + y^2)y phi'(xy)
x(x^2 + y^2)y phi'(xy) - x(x^2 + y^2)y phi'(xy) = 0
Agora, somamos as duas expressões:
2x^2 phi(xy) + 2y^2 phi(xy) = 2(x^2 + y^2)phi(xy) = 2f
As duas parcelas com se cancelam:
Então, fica:

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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