Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de e :
Se , então .
Se , então .
Se e , então .
A questão pede para encontrarmos o domínio da derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos precisar entender onde essa derivada existe, ou seja, em quais pontos a função é diferenciável em relação a .
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial em diferentes regiões do plano .
Quando :
A função se simplifica para .
A derivada parcial em relação a é:
Essa derivada existe para todo real.
Quando :
A função se simplifica para .
Para encontrar nesse caso, usamos a definição de derivada:
Substituindo os valores:
Esse limite não existe porque o numerador é constante e o denominador tende a zero, resultando em infinito. Portanto, a derivada parcial não existe quando e .
Quando e :
A função é constante, .
A derivada parcial é:
Essa derivada existe para todos os e .
Passo 3
Agora, resumindo os resultados:
A derivada parcial existe em todos os pontos onde:
(e qualquer ),
e .
A derivada não existe apenas nos pontos onde e .
Resposta
O domínio de Dom(partial fpartial x) = , (x, y) in R^2 mid x neq 0 ou y = 0 , é o conjunto de todos os pares em onde ou . Em outras palavras: