Seja f: R^2 R dada por f(x, 0)=1+x^2, f(0, y)=1+y^2 e f(x, y)=0 se x neq 0 e y neq 0.
Qual o domínio de partial fpartial x ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de e :
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se e , então .
A questão pede para encontrarmos o domínio da derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos precisar entender onde essa derivada existe, ou seja, em quais pontos a função é diferenciável em relação a .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial partial fpartial x = 2x em diferentes regiões do plano partial fpartial xg|(0, y) = limh to 0 f(h, y) - f(0, y)h .
  1. Quando partial fpartial xg|(0, y) = limh to 0 0 - (1 + y^2)h :
    A função se simplifica para partial fpartial x = 0 .
    A derivada parcial em relação a é:
    Essa derivada existe para todo real.
  2. Quando :
    A função se simplifica para .
    Para encontrar nesse caso, usamos a definição de derivada:
    Substituindo os valores:
    Esse limite não existe porque o numerador é constante e o denominador tende a zero, resultando em infinito. Portanto, a derivada parcial não existe quando e .
  3. Quando e :
    A função é constante, .
    A derivada parcial é:
    Essa derivada existe para todos os e .

Passo 3

Agora, resumindo os resultados:
  • A derivada parcial existe em todos os pontos onde:
    • (e qualquer ),
    • e .
  • A derivada não existe apenas nos pontos onde e .

Resposta

O domínio de Dom(partial fpartial x) = , (x, y) in R^2 mid x neq 0 ou y = 0 , é o conjunto de todos os pares em onde ou . Em outras palavras:

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