Seja
a probabilidade de cara de uma moeda. Sejam
e
:
. Lança-se 12 vezes essa moeda, observando-se o número de caras. Usando a tabela da distribuição binomial (Tabela 2 do apêndice), obtenha a probabilidade de significância para cada um dos seguintes resultados:
1 cara
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita
?
1 cara
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moeda onde a probabilidade de sair cara (
) é 0,5. Queremos testar duas hipóteses:
- Hipótese nula (
): (a moeda é justa) - Hipótese alternativa (
): (a moeda tem tendência a dar mais coroas do que caras)
Vamos lançar essa moeda 12 vezes e observar o número de caras. Precisamos calcular a probabilidade de obter 1 cara e verificar se, com um nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos trabalhando com uma distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 12 lançamentos), cada uma com dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (cara) é constante em cada tentativa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
-
é o número de tentativas (12) -
é o número de sucessos desejados (1 cara) -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (0,5)
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 1 cara em 12 lançamentos:
Calculando o coeficiente binomial:
Agora, substituindo:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de obter até 1 cara, ou seja,
. Isso inclui a probabilidade de obter 0 caras e 1 cara.
Calculando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa probabilidade com o nível de significância de 5% (0,05). Se a probabilidade calculada for menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula
.
Resposta
A probabilidade de significância ao obter 1 cara em 12 lançamentos é aproximadamente
(0,32%). Como
, rejeitamos a hipótese nula
com nível de significância de 5%.