Seja p a probabilidade de cara de uma moeda. Sejam H0: p=0,5 e H1 : p<0,5. Lança-se 12 vezes essa moeda, observando-se o número de caras. Usando a tabela da distribuição binomial (Tabela 2 do apêndice), obtenha a probabilidade de significância para cada um dos seguintes resultados:
1 cara
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita H0 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moeda onde a probabilidade de sair cara ( p) é 0,5. Queremos testar duas hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): p = 0,5 (a moeda é justa)
  • Hipótese alternativa ( H1): p < 0,5 (a moeda tem tendência a dar mais coroas do que caras)
Vamos lançar essa moeda 12 vezes e observar o número de caras. Precisamos calcular a probabilidade de obter 1 cara e verificar se, com um nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos trabalhando com uma distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 12 lançamentos), cada uma com dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (cara) é constante em cada tentativa.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • n é o número de tentativas (12)
  • k é o número de sucessos desejados (1 cara)
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (0,5)

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 1 cara em 12 lançamentos:
P(X = 1) = binom121 (0,5)^1 (1-0,5)^12-1
Calculando o coeficiente binomial:
binom121 = 12
Agora, substituindo:
P(X = 1) = 12 times 0,5 times (0,5)^11 = 12 times 0,5^12
Calculando 0,5^12:
0,5^12 = 14096 approx 0,000244140625
Então:
P(X = 1) = 12 times 0,000244140625 approx 0,0029296875

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de obter até 1 cara, ou seja, P(X <= 1). Isso inclui a probabilidade de obter 0 caras e 1 cara.
Calculando P(X = 0):
P(X = 0) = binom120 (0,5)^0 (1-0,5)^12 = 1 times 1 times 0,5^12 = 0,000244140625
Então:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,000244140625 + 0,0029296875 = 0,003173828125

Passo 5

Agora, vamos comparar essa probabilidade com o nível de significância de 5% (0,05). Se a probabilidade calculada for menor que 0,05, rejeitamos a hipótese nula H0.
0,003173828125 < 0,05

Resposta

A probabilidade de significância ao obter 1 cara em 12 lançamentos é aproximadamente 0,0032 (0,32%). Como 0,0032 < 0,05, rejeitamos a hipótese nula H0 com nível de significância de 5%.

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