Seja uma sequência
de variáveis aleatórias. Prove que se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, numa sequência de variáveis aleatórias
, se a esperança matemática
converge para um número
e a variância
converge para zero, então
converge em probabilidade para
. Vamos usar conceitos de probabilidade, como convergência em probabilidade e propriedades da esperança e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência em probabilidade. Dizemos que
converge em probabilidade para
se, para qualquer
, a probabilidade de
estar a mais de
de
tende a zero quando
aumenta. Em símbolos:
Passo 3
Agora, vamos usar uma ferramenta chamada Desigualdade de Chebyshev. Essa desigualdade nos dá um limite superior para a probabilidade de uma variável aleatória se desviar da sua esperança. A desigualdade diz que:
Isso é útil porque temos informações sobre
e
.
Passo 4
Vamos aplicar a Desigualdade de Chebyshev à nossa sequência
. Temos:
Aqui, usamos a desigualdade triangular dentro da probabilidade.
Passo 5
Como
, para
suficientemente grande,
pode ser feito menor que
. Então, se
, teremos
. Então,
Passo 6
Aplicando a Desigualdade de Chebyshev agora:
Como
, o lado direito tende a zero.
Passo 7
Portanto,
Isso mostra que
converge em probabilidade para
.
Resposta
Assim, provamos que se
e
, então
.