Seja uma sequência Xn ; n >= 1 de variáveis aleatórias. Prove que se E(Xn) alpha e Var(Xn) 0, então Xn xrightarrowp alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, numa sequência de variáveis aleatórias Xn, se a esperança matemática E(Xn) converge para um número alpha e a variância Var(Xn) converge para zero, então Xn converge em probabilidade para alpha. Vamos usar conceitos de probabilidade, como convergência em probabilidade e propriedades da esperança e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência em probabilidade. Dizemos que Xn converge em probabilidade para alpha se, para qualquer epsilon > 0, a probabilidade de Xn estar a mais de epsilon de alpha tende a zero quando n aumenta. Em símbolos:
limn to infty P(|Xn - alpha| >= epsilon) = 0

Passo 3

Agora, vamos usar uma ferramenta chamada Desigualdade de Chebyshev. Essa desigualdade nos dá um limite superior para a probabilidade de uma variável aleatória se desviar da sua esperança. A desigualdade diz que:
P(|Xn - E(Xn)| >= epsilon) <= Var(Xn)epsilon^2
Isso é útil porque temos informações sobre E(Xn) e Var(Xn).

Passo 4

Vamos aplicar a Desigualdade de Chebyshev à nossa sequência Xn. Temos:
P(|Xn - alpha| >= epsilon) <= P(|Xn - E(Xn)| + |E(Xn) - alpha| >= epsilon)
Aqui, usamos a desigualdade triangular dentro da probabilidade.

Passo 5

Como E(Xn) alpha, para n suficientemente grande, |E(Xn) - alpha| pode ser feito menor que epsilon/2. Então, se |Xn - E(Xn)| >= epsilon/2, teremos |Xn - alpha| >= epsilon. Então,
P(|Xn - alpha| >= epsilon) <= P(|Xn - E(Xn)| >= epsilon/2)

Passo 6

Aplicando a Desigualdade de Chebyshev agora:
P(|Xn - alpha| >= epsilon) <= Var(Xn)(epsilon/2)^2 = 4,Var(Xn)epsilon^2
Como Var(Xn) 0, o lado direito tende a zero.

Passo 7

Portanto,
limn to infty P(|Xn - alpha| >= epsilon) <= limn to infty 4,Var(Xn)epsilon^2 = 0
Isso mostra que Xn converge em probabilidade para alpha.

Resposta

Assim, provamos que se E(Xn) alpha e Var(Xn) 0, então Xn xrightarrowp alpha.

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