A população de uma cidade está crescendo de acordo com a função
P(t)=2000020+40 e^-0,2 t
Encontre o valor em torno do qual o tamanho da população P(t) estabiliza com o passar do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente tem uma função que descreve como a população de uma cidade está crescendo ao longo do tempo, dada por:
P(t)=2000020+40 e^-0,2 t
O conteúdo que precisamos aqui envolve funções exponenciais e limites, que são partes da matemática que estudam como coisas mudam ao longo do tempo. Nosso objetivo é descobrir para qual valor a população $ P(t) $ vai se estabilizar quando o tempo $ t $ aumenta bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a função quando o tempo $ t $ fica muito grande, ou seja, quando $ t $ tende ao infinito ($ t \to \infty $). Olhando para a função:
t
Temos um termo exponencial $ e^{-0,2 t} $. Sabemos que quando o expoente de um número é negativo e o tempo aumenta, $ e^{-0,2 t} $ vai se aproximar de zero.

Passo 3

Então, vamos substituir $ e^{-0,2 t} $ por zero na função, já que conforme $ t $ aumenta, esse termo fica cada vez menor:
e^-0,2 t
Isso significa que, à medida que o tempo passa, a população $ P(t) $ se aproxima de 1000 habitantes.

Resposta

O tamanho da população $ P(t) $ estabiliza em torno de 1000 habitantes conforme o tempo passa.

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