Considere a função f definida por: f(x)=3-x, se x<2, e f(x)=x2+1, se x>2.
Esboce o gráfico de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que muda de expressão dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco de funções por partes e como desenhar cada parte no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas expressões que definem $ f(x) $:
  • Para $ x < 2 $: $ f(x) = 3 - x $
  • Para $ x > 2 $: $ f(x) = \frac{x}{2} + 1 $
Essas são duas funções lineares diferentes que se aplicam em intervalos distintos de $ x $.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: $ f(x) = 3 - x $ para $ x < 2 $.
Essa é uma função linear com coeficiente angular $ m = -1 $ e intercepto $ b = 3 $. Isso significa que a reta desce com uma inclinação de -1 e intercepta o eixo $ y $ no ponto (0,3).

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: $ f(x) = \frac{x}{2} + 1 $ para $ x > 2 $.
Essa também é uma função linear, mas com coeficiente angular $ m = \frac{1}{2} $ e intercepto $ b = 1 $. Aqui, a reta sobe com uma inclinação de 0,5 e intercepta o eixo $ y $ no ponto (0,1).

Passo 5

Vamos identificar o ponto onde a função muda de expressão, que é $ x = 2 $. É importante notar que o enunciado não define $ f(2) $, então nesse ponto a função não está definida (a gente tem uma “descontinuidade” aqui).

Passo 6

Agora, vamos plotar as duas retas no gráfico:
  • Para $ x < 2 $: Desenhe a reta $ f(x) = 3 - x $. Por exemplo, quando $ x = 0 $, $ f(0) = 3 $; quando $ x = 1 $, $ f(1) = 2 $; e assim por diante até $ x $ se aproximar de 2.
  • Para $ x > 2 $: Desenhe a reta $ f(x) = \frac{x}{2} + 1 $. Por exemplo, quando $ x = 3 $, $ f(3) = 2.5 $; quando $ x = 4 $, $ f(4) = 3 $; e assim por diante.

Passo 7

Marque um círculo aberto em $ x = 2 $ para indicar que a função não está definida nesse ponto.

Passo 8

Junta tudo isso no gráfico: duas retas que se aproximam de $ x = 2 $ mas não se conectam. Uma descendo para a esquerda de 2 e outra subindo para a direita de 2.

Resposta

Então, o gráfico de $ f(x) $ é composto por duas retas:
  • A reta decrescente $ f(x) = 3 - x $ para $ x < 2 $,
  • A reta crescente $ f(x) = \frac{x}{2} + 1 $ para $ x > 2 $,
com uma descontinuidade no ponto $ x = 2 $, onde a função não está definida.

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