Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por:
f(x)=2x para 0≤x≤1;
f(x)=0, caso contrário
Assinale a alternativa incorreta.
(Ref.: 202007331703)
E(X)=2/3
A variância de x é 118
A mediana de x é 1√2
A probabilidade de x se situar entre 14 e 34 é igual a 0,5.
A probabilidade que x seja menor ou igual a 12, dado que x se situa entre 13 e 23 é igual a 0,5.
f(x)=2x para 0≤x≤1;
f(x)=0, caso contrário
Assinale a alternativa incorreta.
(Ref.: 202007331703)
E(X)=2/3
A variância de x é 118
A mediana de x é 1√2
A probabilidade de x se situar entre 14 e 34 é igual a 0,5.
A probabilidade que x seja menor ou igual a 12, dado que x se situa entre 13 e 23 é igual a 0,5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma variável aleatória $ X $ com a função de densidade de probabilidade dada por:
O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade e Estatística, especificamente sobre variáveis aleatórias contínuas, esperança matemática (E(X)), variância, mediana e probabilidades condicionais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de integrais para encontrar E(X), a variância, a mediana e calcular as probabilidades pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a esperança matemática $ E(X) $. A fórmula para $ E(X) $ de uma variável contínua é:
Como $ f(x) = 0 $ fora de 0 a 1, a integral fica:
Integrando:
Então, a alternativa E(X)=2/3 está correta.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $. A fórmula da variância é:
Primeiro, encontramos $ E(X^2) $:
Integrando:
Então, a variância é:
A alternativa A variância de x é 118 está incorreta, já que encontramos $ Var(X) = \frac{1}{18} $.
Passo 4
Vamos verificar a mediana. A mediana é o valor $ m $ tal que:
Então, resolvemos:
Integrando:
Portanto:
A alternativa A mediana de x é $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ está correta.
Passo 5
Agora, a probabilidade de x estar entre 14 e 34. No enunciado, $ f(x) $ é diferente de zero apenas para $ 0 \leq x \leq 1 $. Assim, qualquer intervalo fora desse intervalo tem probabilidade zero. Logo:
A alternativa A probabilidade de x se situar entre 14 e 34 é igual a 0,5 está incorreta.
Passo 6
Por último, a probabilidade condicional $ P(X \leq \frac{1}{2} , | , \frac{1}{3} \leq X \leq \frac{2}{3}) $. Usamos a fórmula:
Aqui, $ A $ é $ X \leq \frac{1}{2} $ e $ B $ é $ \frac{1}{3} \leq X \leq \frac{2}{3} $.
Primeiro, calculamos $ P(B) $:
Agora, $ A \cap B $ é $ \frac{1}{3} \leq X \leq \frac{1}{2} $:
Então:
A alternativa A probabilidade que x seja menor ou igual a $ \frac{1}{2} $, dado que x se situa entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $ é igual a 0,5 está incorreta, pois o valor real é aproximadamente 0,4167.
Resposta
A alternativa incorreta é A variância de x é 118.