Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por:
f(x)=2x para 0≤x≤1;
f(x)=0, caso contrário
Assinale a alternativa incorreta.
(Ref.: 202007331703)
E(X)=2/3
A variância de x é 118
A mediana de x é 1√2
A probabilidade de x se situar entre 14 e 34 é igual a 0,5.
A probabilidade que x seja menor ou igual a 12, dado que x se situa entre 13 e 23 é igual a 0,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma variável aleatória $ X $ com a função de densidade de probabilidade dada por:
X á
O conteúdo envolvido aqui é Probabilidade e Estatística, especificamente sobre variáveis aleatórias contínuas, esperança matemática (E(X)), variância, mediana e probabilidades condicionais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de integrais para encontrar E(X), a variância, a mediana e calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a esperança matemática $ E(X) $. A fórmula para $ E(X) $ de uma variável contínua é:
E(X)
Como $ f(x) = 0 $ fora de 0 a 1, a integral fica:
E(X)
Integrando:
E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx
Então, a alternativa E(X)=2/3 está correta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $. A fórmula da variância é:
Var(X)
Primeiro, encontramos $ E(X^2) $:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Integrando:
E(X^2)
Então, a variância é:
E(X^2) = integral0^1 x^2 cdot 2x , dx = integral0^1 2x^3 , dx
A alternativa A variância de x é 118 está incorreta, já que encontramos $ Var(X) = \frac{1}{18} $.

Passo 4

Vamos verificar a mediana. A mediana é o valor $ m $ tal que:
m
Então, resolvemos:
P(X <= m) = 0,5
Integrando:
integral0^m 2x , dx = 0,5
Portanto:
[ x^2 ]0^m = m^2 = 0,5
A alternativa A mediana de x é $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ está correta.

Passo 5

Agora, a probabilidade de x estar entre 14 e 34. No enunciado, $ f(x) $ é diferente de zero apenas para $ 0 \leq x \leq 1 $. Assim, qualquer intervalo fora desse intervalo tem probabilidade zero. Logo:
f(x)
A alternativa A probabilidade de x se situar entre 14 e 34 é igual a 0,5 está incorreta.

Passo 6

Por último, a probabilidade condicional $ P(X \leq \frac{1}{2} , | , \frac{1}{3} \leq X \leq \frac{2}{3}) $. Usamos a fórmula:
P(X <= 12 , | , 13 <= X <= 23)
Aqui, $ A $ é $ X \leq \frac{1}{2} $ e $ B $ é $ \frac{1}{3} \leq X \leq \frac{2}{3} $.
Primeiro, calculamos $ P(B) $:
P(A | B) = P(A cap B)P(B)
Agora, $ A \cap B $ é $ \frac{1}{3} \leq X \leq \frac{1}{2} $:
A
Então:
X <= 12
A alternativa A probabilidade que x seja menor ou igual a $ \frac{1}{2} $, dado que x se situa entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $ é igual a 0,5 está incorreta, pois o valor real é aproximadamente 0,4167.

Resposta

A alternativa incorreta é A variância de x é 118.

Exercícios relacionados