Determine a solução da equação diferencial 2 x 2 y ′′ + 6 x y ′ + 2 y = 0 para x > 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
para
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais, que são usadas para modelar várias situações na matemática e na física. Para resolver essa equação, vamos usar um método específico para esse tipo de equação chamada equação de Cauchy-Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
. Isso ajuda a deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Simplificando os coeficientes:
Agora, a equação ficou na forma padrão da equação de Cauchy-Euler:
Onde, neste caso,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, a gente assume uma solução do tipo:
Onde
é um número que vamos descobrir. Agora, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação original simplificada:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
-
permanece assim. -
-
Então, a equação fica:
Passo 6
Como todos os termos têm
, podemos fatorar isso:
Como
não é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar isso como:
Então, temos uma raiz real dupla:
Passo 8
Quando temos uma raiz dupla
em uma equação de Cauchy-Euler, a solução geral é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.