Determine a solução da equação diferencial 2 x 2 y ′′ + 6 x y ′ + 2 y = 0 para x > 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo 2x^2 y'' + 6x y' + 2y = 0 para x > 0. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais, que são usadas para modelar várias situações na matemática e na física. Para resolver essa equação, vamos usar um método específico para esse tipo de equação chamada equação de Cauchy-Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2x^2. Isso ajuda a deixar a equação mais fácil de trabalhar:
y'' + 6x2x^2 y' + 22x^2 y = 0
Simplificando os coeficientes:
y'' + 3x y' + 1x^2 y = 0
Agora, a equação ficou na forma padrão da equação de Cauchy-Euler:
y'' + ax y' + bx^2 y = 0
Onde, neste caso, a = 3 e b = 1.

Passo 3

Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, a gente assume uma solução do tipo:
y = x^r
Onde r é um número que vamos descobrir. Agora, precisamos calcular as derivadas de y em relação a x:
Primeira derivada:
y' = r x^r-1
Segunda derivada:
y'' = r (r - 1) x^r-2

Passo 4

Vamos substituir y, y' e y'' na equação original simplificada:
y'' + 3x y' + 1x^2 y = 0
Substituindo as derivadas:
r (r - 1) x^r-2 + 3x cdot r x^r-1 + 1x^2 cdot x^r = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. r (r - 1) x^r-2 permanece assim.
  2. 3x cdot r x^r-1 = 3r x^r-2
  3. 1x^2 cdot x^r = x^r-2
Então, a equação fica:
r (r - 1) x^r-2 + 3r x^r-2 + x^r-2 = 0

Passo 6

Como todos os termos têm x^r-2, podemos fatorar isso:
x^r-2 ( r (r - 1) + 3r + 1 ) = 0
Como x^r-2 não é zero para x > 0, podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
r (r - 1) + 3r + 1 = 0
Simplificando:
r^2 - r + 3r + 1 = 0 r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
r^2 + 2r + 1 = 0
Podemos fatorar isso como:
(r + 1)^2 = 0
Então, temos uma raiz real dupla:
r = -1

Passo 8

Quando temos uma raiz dupla r em uma equação de Cauchy-Euler, a solução geral é dada por:
y(x) = C1 x^r + C2 x^r ln x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 x^-1 + C2 x^-1 ln x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

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