Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
, para
. Pede-se:
Determinar o valor de
para que
seja uma fdp .
Determinar o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ com função de densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_{X}(x) = c x^{2} $ no intervalo $ \mathcal{X} = (-1, 1) $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ c $ que faz com que $ f_{X}(x) $ seja uma fdp válida. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e usar o conceito de integral para garantir que a área total sob a curva da fdp seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de densidade de probabilidade (fdp). Uma fdp válida deve satisfazer duas condições principais:
- $ f_{X}(x) \geq 0 $ para todo $ x $ no domínio.
- A integral de $ f_{X}(x) $ sobre todo o domínio deve ser igual a 1, ou seja:
No nosso caso, a fdp é $ f_{X}(x) = c x^{2} $, que já é não negativa para todo $ x $ em $ (-1, 1) $, já que o quadrado de um número é sempre positivo. Então, só precisamos garantir que a integral seja igual a 1.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f_{X}(x) $ de $ -1 $ a $ 1 $:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, tiramos o $ c $ da integral, já que é uma constante:
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{2} $ de $ -1 $ a $ 1 $.
Passo 5
A integral de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de $ -1 $ a $ 1 $:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral de volta na equação original:
Agora, vamos resolver para $ c $.
Passo 8
Isolando $ c $:
Resposta
O valor de $ c $ que torna $ f_{X}(x) $ uma função de densidade de probabilidade válida é $ \frac{3}{2} $.