Sejam A=(aij )4x3 e B=(bij )3x4 duas matrizes definidas por aij=i j e bij=2i j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c32 da matriz C?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, a matriz $ A $ de dimensão $ 4 \times 3 $ e a matriz $ B $ de dimensão $ 3 \times 4 $. Cada elemento dessas matrizes é definido por funções específicas: $ a_{ij} = i \times j $ e $ b_{ij} = 2 \times i \times j $. Nosso objetivo é encontrar o elemento $ c_{32} $ da matriz $ C $ que resulta da multiplicação de $ A $ por $ B $, ou seja, $ C = A \times B $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes. Basicamente, cada elemento $ c_{ij} $ da matriz $ C $ é calculado fazendo a soma dos produtos dos elementos da linha $ i $ da matriz $ A $ com os elementos da coluna $ j $ da matriz $ B $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é o elemento que queremos encontrar: $ c_{32} $. Isso significa que estamos interessados na terceira linha e segunda coluna da matriz $ C $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular $ c_{ij} $ na multiplicação de matrizes. A fórmula geral é:
Aqui, $ n $ é o número de colunas de $ A $ (que também é o número de linhas de $ B $), ou seja, $ n = 3 $.
Passo 4
Aplicando essa fórmula para $ c_{32} $, temos:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos os elementos de $ A $:
Passo 6
Em seguida, calculamos os elementos de $ B $:
Passo 7
Agora, multiplicamos os elementos correspondentes e somamos:
Resposta
O elemento $ c_{32} $ da matriz $ C $ é 168.