Sejam A=(aij )4x3 e B=(bij )3x4 duas matrizes definidas por aij=i j e bij=2i j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c32 da matriz C?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, a matriz $ A $ de dimensão $ 4 \times 3 $ e a matriz $ B $ de dimensão $ 3 \times 4 $. Cada elemento dessas matrizes é definido por funções específicas: $ a_{ij} = i \times j $ e $ b_{ij} = 2 \times i \times j $. Nosso objetivo é encontrar o elemento $ c_{32} $ da matriz $ C $ que resulta da multiplicação de $ A $ por $ B $, ou seja, $ C = A \times B $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes. Basicamente, cada elemento $ c_{ij} $ da matriz $ C $ é calculado fazendo a soma dos produtos dos elementos da linha $ i $ da matriz $ A $ com os elementos da coluna $ j $ da matriz $ B $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o elemento que queremos encontrar: $ c_{32} $. Isso significa que estamos interessados na terceira linha e segunda coluna da matriz $ C $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular $ c_{ij} $ na multiplicação de matrizes. A fórmula geral é:
cij
Aqui, $ n $ é o número de colunas de $ A $ (que também é o número de linhas de $ B $), ou seja, $ n = 3 $.

Passo 4

Aplicando essa fórmula para $ c_{32} $, temos:
c32
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos os elementos de $ A $:
A
a31 = 3 times 1 = 3
a32 = 3 times 2 = 6

Passo 6

Em seguida, calculamos os elementos de $ B $:
B
b12 = 2 times 1 times 2 = 4
b22 = 2 times 2 times 2 = 8

Passo 7

Agora, multiplicamos os elementos correspondentes e somamos:
c32 = (3 times 4) + (6 times 8) + (9 times 12) = 12 + 48 + 108 = 168

Resposta

O elemento $ c_{32} $ da matriz $ C $ é 168.

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