Sejam e bases ordenadas de . Encontre a matrizes mudança de base:
(a) ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre mudança de base em álgebra linear. A questão envolve várias bases diferentes para o espaço e pede para encontrar a matriz de mudança de base específica, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma base em termos de outra e montar a matriz que faz essa transição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ordenada. Uma base ordenada de é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes e que, combinados, podem gerar qualquer vetor no plano. No nosso caso, temos a base padrão e outras três bases , e .
Passo 3
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de um vetor que estão na base para coordenadas na base . Basicamente, ela responde à pergunta: “Como eu represento os vetores da base na base ?”
Passo 4
Para construir essa matriz, precisamos escrever cada vetor da base em termos da base . No caso, como é a base padrão, os vetores já estão expressos de forma direta.
A base é:
Passo 5
Vamos montar a matriz colocando os vetores de como colunas dessa matriz. Isso porque cada coluna da matriz de mudança de base representa um vetor da nova base expressa na base antiga.
Então, temos:
Passo 6
Esse resultado significa que, se você tiver um vetor expresso na base como , então, para expressar na base , você multiplica a matriz pelo vetor .