Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2. Encontre a matrizes mudança de base:
(a) ii. [I]beta1^beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre mudança de base em álgebra linear. A questão envolve várias bases diferentes para o espaço e pede para encontrar a matriz de mudança de base específica, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma base em termos de outra e montar a matriz que faz essa transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ordenada. Uma base ordenada de é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes e que, combinados, podem gerar qualquer vetor no plano. No nosso caso, temos a base padrão e outras três bases , e .

Passo 3

A matriz de mudança de base transforma coordenadas de um vetor que estão na base para coordenadas na base . Basicamente, ela responde à pergunta: “Como eu represento os vetores da base na base ?”

Passo 4

Para construir essa matriz, precisamos escrever cada vetor da base beta1 = (-1,1), (1,1) em termos da base . No caso, como é a base padrão, os vetores já estão expressos de forma direta.
A base é:

Passo 5

Vamos montar a matriz [I]beta1^beta = -1 & 1 1 & 1 colocando os vetores de como colunas dessa matriz. Isso porque cada coluna da matriz de mudança de base representa um vetor da nova base expressa na base antiga.
Então, temos:

Passo 6

Esse resultado significa que, se você tiver um vetor c1 c2 expresso na base como , então, para expressar na base , você multiplica a matriz pelo vetor .

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta1^beta = -1 & 1 1 & 1 é:

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