Dados os pontos e , determine: A equação do plano que passa por e ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . O objetivo é determinar a equação do plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente vetores e produto vetorial.
Passo 2
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Para isso, vamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados.
Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Com os vetores e encontrados, podemos determinar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O vetor normal é perpendicular ao plano.
Agora que temos o vetor normal n = (10, -5, -5) e conhecemos um ponto que está no plano, por exemplo, o ponto A=(1,1,1), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto A.
Substituindo os valores:
10(x - 1) -5(y - 1) -5(z -1) = 0
Distribuindo os termos:
10x -10 -5y +5 -5z +5 = 0
Simplificando:
10x -5y -5z =10
Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por 5:
2x - y - z =2
Resposta
A equação do plano que passa pelos pontos A, B e C é 2x - y - z = 2.