Sejam duas urnas I e I I. A urna I contém 3 fichas vermelhas e 2 fichas azuis. A urna I I contém 2 fichas vermelhas e 8 fichas azuis. Joga-se uma moeda © Dado que já sabemos que a ficha é vermelha, qual é a probabilidade condicional de ter vindo da urna I ?

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos duas urnas, I e II. A urna I tem 3 fichas vermelhas e 2 azuis, enquanto a urna II tem 2 vermelhas e 8 azuis. Jogamos uma moeda para escolher qual urna usar. Queremos saber qual a probabilidade de a ficha vermelha ter vindo da urna I, sabendo que já sabemos que ela é vermelha. Vamos usar a Teoria das Probabilidades, especificamente o Teorema de Bayes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de escolher cada urna. Como jogamos uma moeda, assumimos que a probabilidade de escolher a urna I ou II é igual: e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma ficha vermelha de cada urna.
Da urna I, temos 3 fichas vermelhas e 2 azuis, totalizando 5 fichas. Então, a probabilidade de tirar uma vermelha da urna I é:
P(Vermelha | I) = 35

Passo 4

Da urna II, temos 2 fichas vermelhas e 8 azuis, totalizando 10 fichas. Então, a probabilidade de tirar uma vermelha da urna II é:
P(Vermelha | II) = 210 = 15

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de a ficha vermelha ter vindo da urna I, dado que já sabemos que ela é vermelha. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(I | Vermelha) = P(Vermelha | I) cdot P(I)P(Vermelha)

Passo 6

Primeiro, precisamos calcular P(Vermelha) = P(Vermelha | I) cdot P(I) + P(Vermelha | II) cdot P(II) , que é a probabilidade total de tirar uma ficha vermelha de qualquer urna. Isso é dado por:
P(Vermelha) = 35 cdot 12 + 15 cdot 12 = 310 + 110 = 410 = 25
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula do Teorema de Bayes:
P(I | Vermelha) = 35 cdot 1225 = 31025 = 310 cdot 52 = 1520 = 34

Resposta

A probabilidade condicional de a ficha vermelha ter vindo da urna I é .

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