Sejam os números irracionais x= √3, y=√6, z=√12 e w= √24. Qual das expressões apresenta como resultado um número natural?
A. xw + yz
B. xy(w-z)
C. yw-xz
D. xz(y+w)
A. xw + yz
B. xy(w-z)
C. yw-xz
D. xz(y+w)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem quatro números irracionais: $ x = \sqrt{3} $, $ y = \sqrt{6} $, $ z = \sqrt{12} $ e $ w = \sqrt{24} $. A questão pede para a gente descobrir qual das expressões apresentadas resulta em um número natural. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com propriedades de números irracionais e simplificar as expressões usando operações matemáticas básicas como adição, subtração e multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as raízes quadradas que podemos:
- $ z = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
- $ w = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6} $
Agora, substituímos essas simplificações nas expressões:
A. $ xw + yz $
Substituindo:
Substituindo:
Então:
Isso não é um número natural, já que envolve a raiz quadrada de 2, que é irracional.
B. $ xy(w - z) $
Primeiro, calcula $ w - z $:
Primeiro, calcula $ w - z $:
Agora, $ xy = \sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Então:
Distribuindo:
Novamente, não é um número natural.
C. $ yw - xz $
Calculando cada parte:
Calculando cada parte:
Então:
Esse é um número natural!
D. $ xz(y + w) $
Primeiro, calcula $ y + w $:
Primeiro, calcula $ y + w $:
Agora, $ xz = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 2 \times 3 = 6 $
Então:
Isso não é um número natural.
Resposta
A expressão que resulta em um número natural é a opção C. $ yw - xz $, cujo resultado é 6.