Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros alpha e lambda, respectivamente. Encontre a função geratriz de momentos para a variável Z=X+Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, que seguem distribuições de Poisson com os parâmetros alpha e lambda, respectivamente. Elas são independentes, ou seja, o que acontece com uma não afeta a outra. A gente precisa encontrar a função geratriz de momentos da variável Z, que é a soma de X e Y ( Z = X + Y). Para isso, vamos precisar entender o que é a função geratriz de momentos e como ela se comporta com variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função geratriz de momentos (FGM). A FGM de uma variável aleatória W é definida como:
MW(t) = E[e^tW]
Isso significa que a FGM é o valor esperado de e^tW, onde t é um parâmetro real.

Passo 3

Agora, como X e Y são independentes, a FGM da soma delas, Z = X + Y, é o produto das FGM individuais de X e Y. Ou seja:
MZ(t) = MX(t) cdot MY(t)
Essa propriedade é muito útil porque facilita o cálculo da FGM da soma.

Passo 4

Vamos encontrar a FGM de X. Sabemos que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro alpha. A FGM de uma variável de Poisson é dada por:
MX(t) = e^alpha (e^t - 1)

Passo 5

De forma similar, Y segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda, então a FGM de Y é:
MY(t) = e^lambda (e^t - 1)

Passo 6

Agora, substituímos as FGMs de X e Y na expressão de MZ(t):
MZ(t) = e^alpha (e^t - 1) cdot e^lambda (e^t - 1) = e^(alpha + lambda)(e^t - 1)

Resposta

A função geratriz de momentos da variável Z = X + Y é:
MZ(t) = e^(alpha + lambda)(e^t - 1)

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