Sejam X, Y v.a f(x, y)=cc 2c^2, & se 0 <= x <= y, 0 <= y <= c 0, & caso contrário á
  1. Determine a constante c;
  2. Encontre os p.d.f. marginais de X e Y;
  3. Encontre a f.d.p. condicional. de X, dado Y, e a f.d.p. condicional. de Y, dado X;
  4. Calcule a probabilidade de que X <= 1.

Passo 1

Então, Galera! A gente tem um exercício de Estatística que trabalha com função densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y. O objetivo é descobrir algumas características dessa função, como a constante c, as densidades marginais e condicionais, e também calcular uma probabilidade específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integrando funções densidade e entender como obter densidades marginais e condicionais a partir da função conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante c. Sabemos que a integral da função densidade conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, configuramos a integral dupla:
integral0^c integral0^y 2c^2 , dx , dy = 1
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Integrando em relação a x:
integral0^y 2c^2 , dx = 2c^2 cdot x |0^y = 2c^2 cdot y
Agora, substituímos isso na integral em relação a y:
integral0^c 2c^2 cdot y , dy = 2c^2 cdot y^22 |0^c = 2c^2 cdot c^22 = 1
Isso confirma que a constante c já está correta para que a integral seja igual a 1.

Passo 4

Na verdade, observamos que a constante c já satisfaz a condição da integral igual a 1, então não precisamos ajustar c. Portanto, a constante c já está correta conforme dada.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as funções densidade marginais de X e Y. A densidade marginal de X, fX(x), é obtida integrando a função conjunta em relação a y:
fX(x) = integralx^c 2c^2 , dy = 2c^2 (c - x) = 2(c - x)c^2
E a densidade marginal de Y, fY(y), é obtida integrando a função conjunta em relação a x:
fY(y) = integral0^y 2c^2 , dx = 2c^2 cdot y = 2yc^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar as funções densidade condicionais. Primeiro, a densidade condicional de X dado Y = y, fX|Y(x|y), é:
fX|Y(x|y) = f(x, y)fY(y) = 2c^22yc^2 = 1y, 0 <= x <= y
Isso mostra que X dado Y = y é uniformemente distribuído entre 0 e y.
Em seguida, a densidade condicional de Y dado X = x, fY|X(y|x), é:
fY|X(y|x) = f(x, y)fX(x) = 2c^22(c - x)c^2 = 1c - x, x <= y <= c
Isso indica que Y dado X = x é uniformemente distribuído entre x e c.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a probabilidade de que X <= 1, P(X <= 1). Para isso, usamos a densidade marginal de X:
P(X <= 1) = integral0^1 fX(x) , dx = integral0^1 2(c - x)c^2 , dx
Integrando:
P(X <= 1) = 2c^2 ( c x - x^22 ) |0^1 = 2c^2 ( c cdot 1 - 12 ) = 2c^2 ( c - 12 )

Resposta

A probabilidade de que X <= 1 é $ \frac{2(c - \frac{1}{2})}{c^2} $.

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