Encontre a f.d.p. condicional. de X, dado Y, e a f.d.p. condicional. de , dado ;
Calcule a probabilidade de que .
Passo 1
Então, Galera! A gente tem um exercício de Estatística que trabalha com função densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e . O objetivo é descobrir algumas características dessa função, como a constante , as densidades marginais e condicionais, e também calcular uma probabilidade específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integrando funções densidade e entender como obter densidades marginais e condicionais a partir da função conjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante . Sabemos que a integral da função densidade conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Integrando em relação a :
Agora, substituímos isso na integral em relação a y:
integral0^c 2c^2 cdot y , dy = 2c^2 cdot y^22 |0^c = 2c^2 cdot c^22 = 1
Isso confirma que a constante c já está correta para que a integral seja igual a 1.
Passo 4
Na verdade, observamos que a constante c já satisfaz a condição da integral igual a 1, então não precisamos ajustar c. Portanto, a constante c já está correta conforme dada.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as funções densidade marginais de X e Y. A densidade marginal de X, fX(x), é obtida integrando a função conjunta em relação a y: