A probabilidade de acerto de uma questão num teste é de 0.3, a mesma questão é distribuída para 50 candidatos que a respondem independentemente.
- Quantos candidatos espera-se que acertem a questão?
- O que podemos afirmar sobre a probabilidade de que o número de candidatos que acertem a questão esteja entre 10 e 20?
Passo 1
Então, galera, a gente tem uma questão de probabilidade aqui! O problema fala que a chance de uma pessoa acertar uma questão em um teste é de 0,3 (ou seja, 30%). Essa mesma questão foi dada para 50 candidatos, e cada um responde de forma independente. Precisamos resolver duas coisas:
- Quantos candidatos esperamos que acertem a questão?
- Qual a probabilidade de que o número de candidatos que acertem esteja entre 10 e 20?
Vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos responder à primeira pergunta: Quantos candidatos esperamos que acertem a questão?
A gente usa a média (ou valor esperado) da Distribuição Binomial para isso. A fórmula da média é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 50 candidatos).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (a chance de acertar a questão, que é 0,3).
Então, substituindo os valores:
Isso significa que, em média, esperamos que 15 candidatos acertem a questão.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: Qual a probabilidade de que o número de candidatos que acertem a questão esteja entre 10 e 20?
Aqui, vamos calcular a probabilidade de $ X $, o número de acertos, estar entre 10 e 20, ou seja, $ P(10 \leq X \leq 20) $.
Para isso, usamos a fórmula da Distribuição Binomial, que é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o “n escolhe k”, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
- $ p^k $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ sucessos.
- $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade dos outros $ n-k $ tentarem serem falhas.
Para encontrar $ P(10 \leq X \leq 20) $, precisaríamos somar as probabilidades individuais de $ X = 10, 11, 12, ···, 20 $. Porém, isso pode ser trabalhoso manualmente, então normalmente usamos tabelas de distribuição binomial ou ferramentas computacionais para facilitar esse cálculo.
Passo 4
Entretanto, podemos usar uma aproximação normal para facilitar o cálculo, já que $ n $ é grande (50 candidatos) e $ p $ não é muito próximo de 0 ou 1. A Distribuição Normal pode aproximar bem a Distribuição Binomial nesses casos.
Primeiro, calculamos a média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $:
Agora, queremos $ P(10 \leq X \leq 20) $. Usamos a transformação para a variável Z da Distribuição Normal:
Calculamos para $ X = 10 $ e $ X = 20 $:
Agora, consultamos a Tabela Z (Tabela da Distribuição Normal) para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de Z.
Isso significa que há aproximadamente 87,64% de chance de que entre 10 e 20 candidatos acertem a questão.
Resposta
- Espera-se que 15 candidatos acertem a questão.
- A probabilidade de que entre 10 e 20 candidatos acertem a questão é de aproximadamente 87,64%.