Encontre a f.d.a das funções abaixo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade (f.d.a.) para as duas funções dadas:
- $ f(x) = \cos(x) $ no intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
- $ f(x) = x e^{-x} $ no intervalo $ 0 < x < \infty $
Para isso, vamos precisar saber que uma f.d.a. deve satisfazer duas condições:
- Positividade: A função deve ser maior ou igual a zero em todo o intervalo.
- Normalização: A integral da função no intervalo deve ser igual a 1.
Vamos resolver cada função passo a passo!
Passo 2
Primeira função: $ f(x) = \cos(x) $ no intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
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Verificar a Positividade:
- No intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, o cosseno de $ x $ é sempre positivo ($ \cos(x) > 0 $).
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Verificar a Normalização:
- Calculamos a integral de $ f(x) $ nesse intervalo:
- Como a integral dá 1, a função já está normalizada.
- Calculamos a integral de $ f(x) $ nesse intervalo:
Conclusão: A f.d.a. da primeira função já é $ f(x) = \cos(x) $ no intervalo dado.
Passo 3
Segunda função: $ f(x) = x e^{-x} $ no intervalo $ 0 < x < \infty $
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Verificar a Positividade:
- Para $ x > 0 $, tanto $ x $ quanto $ e^{-x} $ são positivos, então $ f(x) > 0 $.
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Verificar a Normalização:
- Calculamos a integral de $ f(x) $ de 0 a infinito:
f(x) = x e^-x - Sabemos que:
0 < x < infty x > 0 - A integral também resulta em 1, então a função já está normalizada.
- Calculamos a integral de $ f(x) $ de 0 a infinito:
Conclusão: A f.d.a. da segunda função já é $ f(x) = x e^{-x} $ no intervalo dado.
Resposta
As funções densidade de probabilidade são:
- $ f(x) = \cos(x) $, para $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
- $ f(x) = x e^{-x} $, para $ 0 < x < \infty $