Encontre a f.d.a das funções abaixo
  1. f(x)=cos (x) 0
  2. f(x)=x e^-x, 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade (f.d.a.) para as duas funções dadas:
  1. $ f(x) = \cos(x) $ no intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
  2. $ f(x) = x e^{-x} $ no intervalo $ 0 < x < \infty $
Para isso, vamos precisar saber que uma f.d.a. deve satisfazer duas condições:
  • Positividade: A função deve ser maior ou igual a zero em todo o intervalo.
  • Normalização: A integral da função no intervalo deve ser igual a 1.
Vamos resolver cada função passo a passo!

Passo 2

Primeira função: $ f(x) = \cos(x) $ no intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
  1. Verificar a Positividade:
    • No intervalo $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, o cosseno de $ x $ é sempre positivo ($ \cos(x) > 0 $).
  2. Verificar a Normalização:
    • Calculamos a integral de $ f(x) $ nesse intervalo: f(x) = cos(x)
    • Como a integral dá 1, a função já está normalizada.
Conclusão: A f.d.a. da primeira função já é $ f(x) = \cos(x) $ no intervalo dado.

Passo 3

Segunda função: $ f(x) = x e^{-x} $ no intervalo $ 0 < x < \infty $
  1. Verificar a Positividade:
    • Para $ x > 0 $, tanto $ x $ quanto $ e^{-x} $ são positivos, então $ f(x) > 0 $.
  2. Verificar a Normalização:
    • Calculamos a integral de $ f(x) $ de 0 a infinito: f(x) = x e^-x
    • Sabemos que: 0 < x < infty x > 0
    • A integral também resulta em 1, então a função já está normalizada.
Conclusão: A f.d.a. da segunda função já é $ f(x) = x e^{-x} $ no intervalo dado.

Resposta

As funções densidade de probabilidade são:
  1. $ f(x) = \cos(x) $, para $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
  2. $ f(x) = x e^{-x} $, para $ 0 < x < \infty $

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