Sendo
a área de cada placa,
a distância que as separa
a permissividade do vácuo, prove que a capacitância C desse capacitor é dada por:
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos lá, o exercício nos pede para provar que a capacitância
de um capacitor com certas características é dada por:
Assuntos Envolvidos:
- Capacitância de capacitores.
- Efeito dos materiais dielétricos na capacitância.
- Combinação de diferentes dielétricos em um capacitor.
O que Precisamos:
- Fórmula básica da capacitância.
- Entender como os dielétricos com constantes
e influenciam a capacitância. - Saber combinar capacitâncias em série ou paralelo.
Passo 2
Capacitância Básica sem Dielétrico
Primeiro, lembramos que a capacitância
de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo. -
é a área de cada placa. -
é a distância entre as placas.
Passo 3
Introduzindo os Dielétricos
Quando inserimos materiais dielétricos entre as placas, a capacitância muda. Se o dielétrico tem uma constante dielétrica
, a nova capacitância
é:
Isso acontece porque o dielétrico reduz o campo elétrico para uma mesma carga, aumentando a capacitância.
Passo 4
Dois Dielétricos com Constantes Diferentes
No nosso caso, temos dois materiais dielétricos com constantes
e
. Vamos considerar que cada um ocupa metade da distância entre as placas, ou seja, cada dielétrico tem uma espessura de
.
Passo 5
Calculando as Capacitâncias Individuais
Cada parte com um dielétrico diferente pode ser vista como um capacitor separado.
Para o primeiro dielétrico (
):
Para o segundo dielétrico (
):
Passo 6
Combinando as Capacitâncias em Série
Como os dielétricos estão dispostos em série (um após o outro na direção do campo elétrico), a capacitância total
é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 7
Isolando e Simplificando
Invertendo a equação para encontrar
:
Podemos reescrever isso de maneira que fique mais parecido com a fórmula que precisamos provar:
Isso porque:
Simplificando, obtemos a expressão desejada.
Resposta
A capacitância deste capacitor é: