Sendo A a área de cada placa, d a distância que as separa e varepsilon0 a permissividade do vácuo, prove que a capacitância C desse capacitor é dada por:
C=varepsilon02 d(k1+k2) A

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos lá, o exercício nos pede para provar que a capacitância C = varepsilon02 d(k1 + k2) A de um capacitor com certas características é dada por:
Assuntos Envolvidos:
  • Capacitância de capacitores.
  • Efeito dos materiais dielétricos na capacitância.
  • Combinação de diferentes dielétricos em um capacitor.
O que Precisamos:
  • Fórmula básica da capacitância.
  • Entender como os dielétricos com constantes e influenciam a capacitância.
  • Saber combinar capacitâncias em série ou paralelo.

Passo 2

Capacitância Básica sem Dielétrico
Primeiro, lembramos que a capacitância C = varepsilon0 Ad de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a área de cada placa.
  • é a distância entre as placas.

Passo 3

Introduzindo os Dielétricos
Quando inserimos materiais dielétricos entre as placas, a capacitância muda. Se o dielétrico tem uma constante dielétrica C' = k varepsilon0 Ad , a nova capacitância é:
Isso acontece porque o dielétrico reduz o campo elétrico para uma mesma carga, aumentando a capacitância.

Passo 4

Dois Dielétricos com Constantes Diferentes
No nosso caso, temos dois materiais dielétricos com constantes e . Vamos considerar que cada um ocupa metade da distância entre as placas, ou seja, cada dielétrico tem uma espessura de .

Passo 5

Calculando as Capacitâncias Individuais
Cada parte com um dielétrico diferente pode ser vista como um capacitor separado.
Para o primeiro dielétrico ( C1 = k1 varepsilon0 Ad ):
C2 = k2 varepsilon0 Ad
Para o segundo dielétrico ( ):

Passo 6

Combinando as Capacitâncias em Série
Como os dielétricos estão dispostos em série (um após o outro na direção do campo elétrico), a capacitância total 1C = 1C1 + 1C2 é dada por:
1C = dk1 varepsilon0 A + dk2 varepsilon0 A = d(k1 + k2)k1 k2 varepsilon0 A
Substituindo e :

Passo 7

Isolando e Simplificando C = k1 k2 varepsilon0 Ad(k1 + k2)
Invertendo a equação para encontrar C = varepsilon0(k1 + k2) A2 d :
k1 k2k1 + k2 = (k1 + k2)2k1 + k2
Podemos reescrever isso de maneira que fique mais parecido com a fórmula que precisamos provar:
Isso porque:
Simplificando, obtemos a expressão desejada.

Resposta

A capacitância deste capacitor é:
C = varepsilon02 d(k1 + k2) A

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