Sendo a área de cada placa, a distância que as separa a permissividade do vácuo, prove que a capacitância C desse capacitor é dada por:

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos lá, o exercício nos pede para provar que a capacitância de um capacitor com certas características é dada por:
Assuntos Envolvidos:
  • Capacitância de capacitores.
  • Efeito dos materiais dielétricos na capacitância.
  • Combinação de diferentes dielétricos em um capacitor.
O que Precisamos:
  • Fórmula básica da capacitância.
  • Entender como os dielétricos com constantes e influenciam a capacitância.
  • Saber combinar capacitâncias em série ou paralelo.

Passo 2

Capacitância Básica sem Dielétrico
Primeiro, lembramos que a capacitância de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a área de cada placa.
  • é a distância entre as placas.

Passo 3

Introduzindo os Dielétricos
Quando inserimos materiais dielétricos entre as placas, a capacitância muda. Se o dielétrico tem uma constante dielétrica , a nova capacitância é:
Isso acontece porque o dielétrico reduz o campo elétrico para uma mesma carga, aumentando a capacitância.

Passo 4

Dois Dielétricos com Constantes Diferentes
No nosso caso, temos dois materiais dielétricos com constantes e . Vamos considerar que cada um ocupa metade da distância entre as placas, ou seja, cada dielétrico tem uma espessura de .

Passo 5

Calculando as Capacitâncias Individuais
Cada parte com um dielétrico diferente pode ser vista como um capacitor separado.
Para o primeiro dielétrico ( ):
Para o segundo dielétrico ( ):

Passo 6

Combinando as Capacitâncias em Série
Como os dielétricos estão dispostos em série (um após o outro na direção do campo elétrico), a capacitância total é dada por:
Substituindo e :

Passo 7

Isolando e Simplificando
Invertendo a equação para encontrar :
Podemos reescrever isso de maneira que fique mais parecido com a fórmula que precisamos provar:
Isso porque:
Simplificando, obtemos a expressão desejada.

Resposta

A capacitância deste capacitor é:

Exercícios relacionados

(2,5p) Elementos resistivos lineares e não lineares. Temos, no laboratório, um amperímetro com resistência interna , e um voltímetro com resistência interna . (a 1,8p) Para um resistor de resistência nominal de , explique qual a melhor montagem para medir esta resistência e como faríamos para traçar a curva característica deste resistor. Faça o diagrama do circuito usado.
Calcule a carga final do capacitor de capacitância .
Considere um sistema de acionamento composto por dois conjuntos máquina/carga, no qual as características nominais são apresentadas a seguir. O conjunto máquina/carga 1 utiliza partida e o conjunto máquina/carga 2 utiliza partida direta.
Conjunto máquina/carga <br> 1
Torque de <br> partida da <br> máquina 30 Nm
Torque <br> máximo <br> da <br> máquina 60 Nm
Torque <br> mínimo da <br> máquina Desconsiderar
Corrente <br> nominal <br> da <br> máquina
Relação <br> Ip/In da <br> máquina 4,5
:— :—
Torque da <br> carga <br> (torque <br> constante) 15 Nm
Conjunto máquina/carga <br> 2
:— :—
Torque de <br> partida da <br> máquina 22 Nm
Torque <br> máximo <br> da <br> máquina 35 Nm
Torque <br> mínimo da <br> máquina Desconsiderar
Corrente <br> nominal <br> da <br> máquina
Relação <br> Ip/In da <br> máquina 7
Torque da <br> carga <br> (torque <br> constante) 7 Nm
:— :—
a) Considerando os tipos de partida utilizados, os conjuntos máquina/carga partirão? Justifique.
b) Considerando os tipos de partida utilizados, esboce o gráfico da corrente eficaz de cada máquina, calculando apenas o valor da corrente de partida.
c) Caso o sistema de acionamento alterado, utilizando agora um soft starter para cada conjunto máquina/carga, os conjuntos máquina/carga poderão partir? Justifique.
d) Caso o sistema de partida seja alterado, utilizando agora um inversor de frequência para cada conjunto máquina/carga, os conjuntos máquina/carga poderão partir? Justifique.
A máquina da questão anterior, a qual havia sido especificada para operar em São Paulo, será instalada em uma planta de metalurgia, com temperatura ambiente controlada de , em uma cidade localizada a 4500 m de altitude. Faça a devida correção da potência mínima (em CV) da máquina a ser adquirida.