Sendo a=1 imath-2 jmath+3 k e b=(-4,+5,-6), Determine o produto escalar a b e o produto vetorial a x b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, a e b, e pede para calcularmos o produto escalar ( a cdot b) e o produto vetorial ( a times b). Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses dois tipos de produtos usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores a = a1 imath + a2 jmath + a3 k e b = b1 imath + b2 jmath + b3 k é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Isso significa que a gente multiplica cada componente correspondente dos vetores e soma os resultados.

Passo 3

Aplicando isso aos nossos vetores:
a = 1 imath - 2 jmath + 3 k
b = -4 imath + 5 jmath - 6 k
Vamos multiplicar as componentes:
  • Componente imath: 1 times (-4) = -4
  • Componente jmath: -2 times 5 = -10
  • Componente k: 3 times (-6) = -18
Somando esses valores:
a cdot b = -4 + (-10) + (-18) = -32

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores a e b resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
a times b = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar as componentes do vetor resultante.

Passo 5

Vamos montar a matriz com as componentes:
a times b = imath & jmath & k 1 & -2 & 3 -4 & 5 & -6
Calculando o determinante:
  • Componente imath:
(-2) times (-6) - 3 times 5 = 12 - 15 = -3
  • Componente jmath:
-(1 times (-6) - 3 times (-4)) = -(-6 + 12) = -6
  • Componente k:
1 times 5 - (-2) times (-4) = 5 - 8 = -3
Então, o vetor resultante é:
a times b = -3 imath - 6 jmath -3 k

Resposta

O produto escalar a cdot b é igual a -32 e o produto vetorial a times b é o vetor -3 imath - 6 jmath -3 k.

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