Sendo e , Determine o produto escalar e o produto vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, e , e pede para calcularmos o produto escalar () e o produto vetorial (). Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses dois tipos de produtos usando as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Isso significa que a gente multiplica cada componente correspondente dos vetores e soma os resultados.
Passo 3
Aplicando isso aos nossos vetores:
Vamos multiplicar as componentes:
Componente :
Componente :
Componente :
Somando esses valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar as componentes do vetor resultante.
Passo 5
Vamos montar a matriz com as componentes:
a times b = imath & jmath & k 1 & -2 & 3 -4 & 5 & -6
Calculando o determinante:
Componente imath:
(-2) times (-6) - 3 times 5 = 12 - 15 = -3
Componente jmath:
-(1 times (-6) - 3 times (-4)) = -(-6 + 12) = -6
Componente k:
1 times 5 - (-2) times (-4) = 5 - 8 = -3
Então, o vetor resultante é:
a times b = -3 imath - 6 jmath -3 k
Resposta
O produto escalar a cdot b é igual a -32 e o produto vetorial a times b é o vetor -3 imath - 6 jmath -3 k.