Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
Onde x é a posição em metros, e
é o tempo, em segundos.
Determine as funções da velocidade
e da aceleração
.
Determine as funções da velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que mostra a posição de uma peça de máquina em relação ao tempo:
Queremos descobrir duas coisas: a velocidade
e a aceleração
dessa peça. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição
em relação a
:
Vamos derivar cada termo da função
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
(uma constante) é .
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade
em relação a
:
Vamos derivar cada termo da função
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
(uma constante) é .
Então, juntando tudo:
Resposta
As funções da velocidade e da aceleração são: