Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
x(t)=t^3-4 t^2-3 t+18
Onde x é a posição em metros, e t é o tempo, em segundos.
Determine as funções da velocidade v(t) e da aceleração a(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que mostra a posição de uma peça de máquina em relação ao tempo:
x(t) = t^3 - 4t^2 - 3t + 18
Queremos descobrir duas coisas: a velocidade v(t) e a aceleração a(t) dessa peça. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t). Sabemos que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição x(t) em relação a t:
v(t) = dx(t)dt
Vamos derivar cada termo da função x(t):
  • A derivada de t^3 é 3t^2.
  • A derivada de -4t^2 é -8t.
  • A derivada de -3t é -3.
  • A derivada de 18 (uma constante) é 0.
Então, juntando tudo:
v(t) = 3t^2 - 8t - 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t). A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade v(t) em relação a t:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada termo da função v(t):
  • A derivada de 3t^2 é 6t.
  • A derivada de -8t é -8.
  • A derivada de -3 (uma constante) é 0.
Então, juntando tudo:
a(t) = 6t - 8

Resposta

As funções da velocidade e da aceleração são:
v(t) = 3t^2 - 8t - 3
a(t) = 6t - 8

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