Sendo a tensão em uma rede elétrica dada pela expressão,
Onde a constante de fase
, onde o símbolo,
, dentro do parêntesis significa congruência e a constante
, sendo
a frequência da rede elétrica.
Calcule a soma entre cada uma das tensões:
e
.
Calcule a soma entre cada uma das tensões:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tensões em uma rede elétrica, que são representadas por funções cosseno com diferentes fases. A gente vai precisar usar conceitos de funções trigonométricas e como somar essas ondas que têm fases diferentes. Nosso objetivo é calcular a soma das tensões entre cada par de fases: entre 1 e 2, 1 e 3, e 2 e 3.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada tensão individualmente. A tensão em cada fase é dada por:
Onde:
- $ V_{p} $ é a amplitude da tensão,
- $ \omega = 2\pi f $ é a frequência angular,
- $ \varphi_{i} $ é a fase de cada tensão.
As fases são:
- $ \varphi_{1} = 0 $,
- $ \varphi_{2} = \frac{2\pi}{3} $,
- $ \varphi_{3} = \frac{4\pi}{3} $ ou equivalente a $ -\frac{2\pi}{3} $.
Passo 3
Para somar duas tensões com fases diferentes, vamos usar a fórmula de soma de cossenos. A fórmula geral para somar dois cossenos é:
Vamos aplicar isso para cada par de tensões.
Passo 4
Vamos começar somando $ V_{1}(t) $ e $ V_{2}(t) $:
Aplicando a fórmula de soma:
Simplificando:
Sabendo que $ \cos(-x) = \cos x $:
E como $ \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} $:
Passo 5
Agora, vamos somar $ V_{1}(t) $ e $ V_{3}(t) $:
Aplicando a fórmula de soma:
Simplificando:
Como $ \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} $:
Passo 6
Por fim, vamos somar $ V_{2}(t) $ e $ V_{3}(t) $:
Aplicando a fórmula de soma:
Simplificando:
Sabendo que $ \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} $:
Resposta
A soma das tensões é:
- $ V_{1} + V_{2} = V_{p} \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) $
- $ V_{1} + V_{3} = V_{p} \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{3}\right) $
- $ V_{2} + V_{3} = - V_{p} \cos\left(\omega t \right) $