Sendo a tensão em uma rede elétrica dada pela expressão,
Vi(t)=Vp cos (omega t+varphii), i=1,2,3
Onde a constante de fase varphii=0,120,240)=(0, 2 pi3, 4 pi3 equiv-2 pi3), onde o símbolo, equiv, dentro do parêntesis significa congruência e a constante omega=2 pi f, sendo f a frequência da rede elétrica.
Calcule a soma entre cada uma das tensões: (1,2),(1,3) e (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tensões em uma rede elétrica, que são representadas por funções cosseno com diferentes fases. A gente vai precisar usar conceitos de funções trigonométricas e como somar essas ondas que têm fases diferentes. Nosso objetivo é calcular a soma das tensões entre cada par de fases: entre 1 e 2, 1 e 3, e 2 e 3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada tensão individualmente. A tensão em cada fase é dada por:
Vi(t) = Vp cos (omega t + varphii)
Onde:
  • $ V_{p} $ é a amplitude da tensão,
  • $ \omega = 2\pi f $ é a frequência angular,
  • $ \varphi_{i} $ é a fase de cada tensão.
As fases são:
  • $ \varphi_{1} = 0 $,
  • $ \varphi_{2} = \frac{2\pi}{3} $,
  • $ \varphi_{3} = \frac{4\pi}{3} $ ou equivalente a $ -\frac{2\pi}{3} $.

Passo 3

Para somar duas tensões com fases diferentes, vamos usar a fórmula de soma de cossenos. A fórmula geral para somar dois cossenos é:
cos A + cos B = 2 cos ( A + B2 ) cos ( A - B2 )
Vamos aplicar isso para cada par de tensões.

Passo 4

Vamos começar somando $ V_{1}(t) $ e $ V_{2}(t) $:
V1(t)
Aplicando a fórmula de soma:
V2(t)
Simplificando:
V1(t) + V2(t) = Vp cos(omega t) + Vp cos(omega t + 2pi3)
Sabendo que $ \cos(-x) = \cos x $:
= 2 Vp cos( omega t + omega t + 2pi3 2 ) cos( -2pi3 2 )
E como $ \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} $:
= 2 Vp cos( omega t + pi3 ) cos( -pi3 )

Passo 5

Agora, vamos somar $ V_{1}(t) $ e $ V_{3}(t) $:
V1(t)
Aplicando a fórmula de soma:
V3(t)
Simplificando:
V1(t) + V3(t) = Vp cos(omega t) + Vp cos(omega t - 2pi3)
Como $ \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} $:
= 2 Vp cos( omega t + omega t - 2pi3 2 ) cos( 2pi3 2 )

Passo 6

Por fim, vamos somar $ V_{2}(t) $ e $ V_{3}(t) $:
V2(t)
Aplicando a fórmula de soma:
V3(t)
Simplificando:
V2(t) + V3(t) = Vp cos(omega t + 2pi3) + Vp cos(omega t - 2pi3)
Sabendo que $ \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} $:
= 2 Vp cos( omega t + 2pi3 + omega t - 2pi3 2 ) cos( 2pi3 + 2pi3 2 )

Resposta

A soma das tensões é:
  • $ V_{1} + V_{2} = V_{p} \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) $
  • $ V_{1} + V_{3} = V_{p} \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{3}\right) $
  • $ V_{2} + V_{3} = - V_{p} \cos\left(\omega t \right) $

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