Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: ( a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7). Quantas senhas diferentes podem ser firmadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre criar senhas de internet que têm 10 caracteres no total: 6 letras e 4 números. Especificamente, queremos usar 4 letras “a”, 2 letras “b” e 4 algarismos iguais a 7. Vamos usar conceitos de combinatória, que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses caracteres.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a ordem dos caracteres importa. Isso significa que “aab7a7b77” é diferente de “aba7a7b77”, por exemplo. Quando temos elementos repetidos, usamos a fórmula de arranjo com repetição.

Passo 3

A fórmula para calcular o número de arranjos de $ n $ elementos com repetições é:
n
onde:
  • $ n! $ é o fatorial do total de elementos.
  • $ n_1!, n_2!, \dots, n_k! $ são os fatoriais das quantidades de cada elemento repetido.

Passo 4

No nosso caso:
  • O total de caracteres $ n = 10 $.
  • Temos 4 letras “a”, então $ n_1 = 4 $.
  • Temos 2 letras “b”, então $ n_2 = 2 $.
  • E 4 algarismos “7”, então $ n_3 = 4 $.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
10!4! times 2! times 4!
Vamos calcular cada fatorial:
  • $ 10! = 3,628,800 $
  • $ 4! = 24 $
  • $ 2! = 2 $
  • Outro $ 4! = 24 $

Passo 6

Agora, substituímos os valores:
3,628,80024 times 2 times 24 = 3,628,8001,152

Passo 7

Dividindo:
3,628,8001,152 = 3,150

Resposta

Existem 3.150 senhas diferentes que podem ser formadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7.

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