Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: ( a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7). Quantas senhas diferentes podem ser firmadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre criar senhas de internet que têm 10 caracteres no total: 6 letras e 4 números. Especificamente, queremos usar 4 letras “a”, 2 letras “b” e 4 algarismos iguais a 7. Vamos usar conceitos de combinatória, que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos organizar esses caracteres.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a ordem dos caracteres importa. Isso significa que “aab7a7b77” é diferente de “aba7a7b77”, por exemplo. Quando temos elementos repetidos, usamos a fórmula de arranjo com repetição.
Passo 3
A fórmula para calcular o número de arranjos de $ n $ elementos com repetições é:
onde:
- $ n! $ é o fatorial do total de elementos.
- $ n_1!, n_2!, \dots, n_k! $ são os fatoriais das quantidades de cada elemento repetido.
Passo 4
No nosso caso:
- O total de caracteres $ n = 10 $.
- Temos 4 letras “a”, então $ n_1 = 4 $.
- Temos 2 letras “b”, então $ n_2 = 2 $.
- E 4 algarismos “7”, então $ n_3 = 4 $.
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Vamos calcular cada fatorial:
- $ 10! = 3,628,800 $
- $ 4! = 24 $
- $ 2! = 2 $
- Outro $ 4! = 24 $
Passo 6
Agora, substituímos os valores:
Passo 7
Dividindo:
Resposta
Existem 3.150 senhas diferentes que podem ser formadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7.