A sequência a seguir é uma progressão geométrica:
Se a soma dos três primeiros termos dessa sequência é igual a 420, então o número que substitui corretamente a interrogação é:
A) 4.
B) 5.
C) 6.
D) 7.
A) 4.
B) 5.
C) 6.
D) 7.
Passo 1
Vamos lá, o enunciado fala sobre uma sequência que é uma progressão geométrica (PG). Os três primeiros termos são
,
e
, e a soma desses três é igual a 420. Nosso objetivo é descobrir qual número substitui o ponto de interrogação na sequência. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das PGs e a fórmula da soma dos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
. Então, temos:
Isso significa que essas duas razões são iguais.
Passo 3
Como as duas razões são iguais, podemos igualar as duas frações:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, fazemos o produto cruzado:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 7
Dividindo toda a equação por 5 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções possíveis:
Passo 8
Vamos verificar qual desses valores de
satisfaz a condição da soma dos três primeiros termos ser 420.
Para
:
Para
:
Portanto,
é a solução correta.
Passo 9
Agora, vamos encontrar o próximo termo da PG usando a razão
que calculamos anteriormente.
Primeiro, vamos encontrar
:
Então, o próximo termo é:
Resposta
A alternativa correta é a letra B) 5.