A sequência a seguir é uma progressão geométrica:
4 x+80,3 x-100, x-40, ?
Se a soma dos três primeiros termos dessa sequência é igual a 420, então o número que substitui corretamente a interrogação é:
A) 4.
B) 5.
C) 6.
D) 7.

Passo 1

Vamos lá, o enunciado fala sobre uma sequência que é uma progressão geométrica (PG). Os três primeiros termos são , e , e a soma desses três é igual a 420. Nosso objetivo é descobrir qual número substitui o ponto de interrogação na sequência. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das PGs e a fórmula da soma dos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum 3x - 1004x + 80 = r e x - 403x - 100 = r . Então, temos:
Isso significa que essas duas razões são iguais.

Passo 3

Como as duas razões são iguais, podemos igualar as duas frações:
3x - 1004x + 80 = x - 403x - 100

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, fazemos o produto cruzado:
(3x - 100)^2 = (4x + 80)(x - 40)

Passo 5

Vamos expandir os termos:
(3x - 100)^2 = 9x^2 - 600x + 10000
(4x + 80)(x - 40) = 4x^2 - 160x + 80x - 3200 = 4x^2 - 80x - 3200
Então, a equação fica:
9x^2 - 600x + 10000 = 4x^2 - 80x - 3200

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
9x^2 - 600x + 10000 - 4x^2 + 80x + 3200 = 0
5x^2 - 520x + 13200 = 0

Passo 7

Dividindo toda a equação por 5 para simplificar:
x^2 - 104x + 2640 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 104 pm raiz104^2 - 4 cdot 1 cdot 26402
x = 104 pm raiz10816 - 105602
x = 104 pm raiz2562
x = 104 pm 162
Então, temos duas soluções possíveis:
x = 104 + 162 = 60 ou x = 104 - 162 = 44

Passo 8

Vamos verificar qual desses valores de 4(60) + 80 = 320 satisfaz a condição da soma dos três primeiros termos ser 420.
Para 3(60) - 100 = 80 :
60 - 40 = 20
Soma = 320 + 80 + 20 = 420
4(44) + 80 = 256
3(44) - 100 = 32
Para 44 - 40 = 4 :
Soma = 256 + 32 + 4 = 292 neq 420
Portanto, é a solução correta.

Passo 9

Agora, vamos encontrar o próximo termo da PG usando a razão r = 3x - 1004x + 80 = 80320 = 14 que calculamos anteriormente.
Primeiro, vamos encontrar Próximo termo = r cdot termo anterior = 14 cdot 20 = 5 :
Então, o próximo termo é:
ó

Resposta

A alternativa correta é a letra B) 5.

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