A sequência a seguir é uma progressão geométrica:
Se a soma dos três primeiros termos dessa sequência é igual a 420, então o número que substitui corretamente a interrogação é:
A) 4.
B) 5.
C) 6.
D) 7.

Passo 1

Vamos lá, o enunciado fala sobre uma sequência que é uma progressão geométrica (PG). Os três primeiros termos são , e , e a soma desses três é igual a 420. Nosso objetivo é descobrir qual número substitui o ponto de interrogação na sequência. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das PGs e a fórmula da soma dos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum . Então, temos:
Isso significa que essas duas razões são iguais.

Passo 3

Como as duas razões são iguais, podemos igualar as duas frações:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, fazemos o produto cruzado:

Passo 5

Vamos expandir os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:

Passo 7

Dividindo toda a equação por 5 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções possíveis:

Passo 8

Vamos verificar qual desses valores de satisfaz a condição da soma dos três primeiros termos ser 420.
Para :
Para :
Portanto, é a solução correta.

Passo 9

Agora, vamos encontrar o próximo termo da PG usando a razão que calculamos anteriormente.
Primeiro, vamos encontrar :
Então, o próximo termo é:
ó

Resposta

A alternativa correta é a letra B) 5.

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A)
B) .
C)
D) .