Sete lugares, dispostos lado a lado, de uma fila de um teatro vão ser sorteados entre 7 pessoas, sendo 3 homens e 4 mulheres. Qual a probabilidade de as mulheres sentarem juntas? E qual a probabilidade de não ficarem juntas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de combinatória aqui. São 7 lugares numa fila de teatro para 7 pessoas, sendo 3 homens e 4 mulheres. Queremos saber qual a chance das 4 mulheres ficarem sentadas juntas e qual a chance delas não ficarem juntas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de permutação, que é uma forma de contar as diferentes maneiras de organizar um grupo de objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de arrumar essas 7 pessoas nos 7 lugares. Como cada lugar pode ser ocupado por qualquer uma das 7 pessoas, a quantidade total de arranjos possíveis é o fatorial de 7, que em matemática é representado por 7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040.
Então, temos 5040 arranjos possíveis no total.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade das 4 mulheres ficarem juntas. Para isso, imaginamos as 4 mulheres como um único “bloco”. Assim, ao invés de 7 pessoas, teremos 4 homens-mulher agrupada, totalizando 4 “unidades” para arrumar.
O número de maneiras de arranjar essas 4 unidades é 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24:

Passo 4

Dentro desse “bloco” das 4 mulheres, elas também podem se arranjar entre si de diferentes formas. O número de arranjos internos é também 4! = 24:

Passo 5

Então, o total de arranjos onde as 4 mulheres ficam juntas é o produto das duas quantidades que calculamos:
4! times 4! = 24 times 24 = 576

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade de as mulheres ficarem juntas, dividimos o número de arranjos favoráveis pelo total de arranjos possíveis:
Probabilidade = 4! times 4!7! = 5765040 approx 0,1143
Então, a probabilidade é de aproximadamente 11,43%.

Passo 7

Para a probabilidade de as mulheres não ficarem juntas, basta subtrairmos a probabilidade das mulheres ficarem juntas de 1 (ou 100%):
Probabilidade = 1 - 4! times 4!7! = 1 - 0,1143 = 0,8857
Então, a probabilidade é de aproximadamente 88,57%.

Resposta

A probabilidade de as mulheres sentarem juntas é de aproximadamente 11,43% e a probabilidade de não ficarem juntas é de aproximadamente 88,57%.

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