a) E(X)=n p, em que X sim Bin(n, p), n é o número de ensaios e p in [0,1] é a probabilidade de sucesso.
b) E(X)=lambda, em que X sim Poisson(lambda) com lambda >0.
c) E(Y)=mu, em que Y sim N(mu, sigma^2), mu in R representa o parâmetro da média e sigma^2 >0 o parâmetro da variância.
d) E(Y)=1lambda e V(Y)=1lambda^2, em que Y sim Exp(lambda) com lambda>0.

Passo 1

Beleza, vamos começar pela parte a. O enunciado diz que a espera de , onde segue uma distribuição Binomial com parâmetros (número de ensaios) e (probabilidade de sucesso), é .
Primeiro, o que é uma distribuição Binomial? É uma distribuição que conta o número de sucessos em tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso .
Como calculamos a esperança ? A fórmula básica para a esperança de uma Binomial é mesmo . Isso faz sentido porque, em cada ensaio, esperamos sucessos, então em ensaios, esperamos sucessos no total.

Passo 2

Agora, vamos para a parte b. Aqui, o enunciado afirma que , onde segue uma distribuição de Poisson com parâmetro .
O que é uma distribuição de Poisson? Ela modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sendo os eventos independentes e com uma taxa média .
Como é calculada a esperança ? Para a distribuição de Poisson, a média é igual a . Isso porque representa a taxa média de ocorrências no intervalo considerado.

Passo 3

Seguimos para a parte c. O enunciado diz que , onde segue uma distribuição Normal com média e variância , ou seja, .
O que é uma distribuição Normal? Também conhecida como Gaussiana, é uma das distribuições mais comuns, caracterizada por sua simetria ao redor da média e controlada pela variância .
Calcular a esperança é direto aqui: pela definição da distribuição Normal, a média é exatamente a esperança .

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte d. O enunciado apresenta que e , onde segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , .
O que é uma distribuição Exponencial? É usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, com taxa .
Como calculamos e ?
  • A esperança para a Exponencial é .
  • A variância é .
Essas fórmulas vêm diretamente das propriedades da distribuição Exponencial.

Resposta

Todas as afirmações estão corretas:
a) para ;
b) para ;
c) para ;
d) e para .

Exercícios relacionados

Faça o histograma da distribuição de frequências apresentada na tabela abaixo, cujos dados se referem às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A.
Classes fi
150 mid---154 4
154 mid---158 9
158 mid---162 11
162 mid---166 8
166 mid---170 5
170 mid---174 3
Tabela 1 - Tabela de frequências para os dados das estaturas
Encontre a equação da reta de regressão para cada conjunto de dados abaixo:
a)
x 1 2 4 5
y 3 5 9 11
b)
x 5 3 2 1 0 2
y -2 0 1 2 3 1
c)
x 2 3 5 5 10
y 6 9 14 16 30
d)
x 2 3 5 5 10
y 6 0 15 5 2
Um pesquisador deseja saber como estão relacionados os salários dos empregados de uma determinada companhia com a duração do emprego, a experiência prévia e a educação. O pesquisador então seleciona oito funcionários da empresa e obtém os seguintes dados:
Empregado Salário (mil $) Emprego (anos) Experiência (anos) Educação (anos)
1 37,310 10 2 16
2 37,380 5 6 16
3 34,135 3 1 12
4 36,985 6 5 14
5 38,715 8 8 16
6 40,620 20 0 12
7 39,200 8 4 18
8 40,320 14 6 17
a) Estime a reta de regressão para o modelo.
b) Baseado no modelo ajustado, qual o salário previsto para um empregado desta companhia que tenha 7 anos de emprego, 3 anos de experiência e 12 anos de educação?
Dado: a matriz ) | Emprego (anos) | Experiência (anos) | Educação (anos) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 1 | 37,310 | 10 | 2 | 16 | | 2 | 37,380 | 5 | 6 | 16 | | 3 | 34,135 | 3 | 1 | 12 | | 4 | 36,985 | 6 | 5 | 14 | | 5 | 38,715 | 8 | 8 | 16 | | 6 | 40,620 | 20 | 0 | 12 | | 7 | 39,200 | 8 | 4 | 18 | | 8 | 40,320 | 14 | 6 | 17 | a) Estime a reta de regressão para o modelo b) Baseado no modelo ajustado, qual o salário previsto para um empregado desta companhia que tenha 7 anos de emprego, 3 anos de experiência e 12 anos de educação? Dado: a matriz é dada por
é dada por
Resp: (X^top X)^-1=[cccc 9,03 & -0,04 & 0,23 & -0,63 -0,04 & 0,005 & 0,004 & -0,002 0,23 & 0,004 & 0,03 & -0,03 -0,63 & -0,002 & -0,03 & 0,05 ] e Resp: .
Além de testar a correlação linear entre x e y, podemos também utilizar transformações de dados para explorar outras relações. Por exemplo, podemos substituir cada valor x por x^2 e determinar se há correlação linear entre y e x^2. Com os dados emparelhados da tabela a seguir, teste se há correlação linear entre y e cada um dos valores seguintes. Qual caso dá maior valor absoluto de r ?
a) x
b) x^2
c) log x
d) raizx
e) 1 / x
x 1,3 2,4 2,6 2,8 2,4 3,0 4,1
y 0,11 0,38 0,41 0,45 0,39 0,48 0,61