Os sintomas febre, cansaço e dores no corpo, estão associadas em 60 % dos casos às gripes e 40 % às constipações. A automedicação é muito frequente nestas doenças, verificando-se que 40 % das vezes os medicamentos ingeridos para o tratamento da gripe são os aconselhados para as constipações, e em 70 % das situações os medicamentos utilizados para tratamento das constipações são os indicados para a gripe.
(a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
(b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício que trata de probabilidade, especificamente relacionado a gripes e constipações. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A chance de o medicamento que a pessoa tomou realmente ser o indicado para a doença dela.
b) Se já sabemos que o medicamento era o correto, qual a probabilidade de a pessoa ter tido gripe.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como a probabilidade condicional e a regra da probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que o enunciado nos deu:
  • Distribuição das doenças:
    • 60% dos casos são de gripe.
    • 40% dos casos são de constipação.
  • Uso de medicamentos:
    • Quando a pessoa tem gripe, 40% das vezes ela toma um medicamento que é realmente indicado para constipações. Isso significa que, 60% das vezes, a medicação é a correta para a gripe.
    • Quando a pessoa tem constipação, 70% das vezes ela toma um medicamento indicado para gripe. Isso quer dizer que, 30% das vezes, a medicação é a correta para a constipação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de o medicamento tomado ser realmente o indicado, ou seja, a probabilidade de medicação correta.
Usaremos a Regra da Probabilidade Total, que nos diz que a probabilidade de um evento acontecer é a soma das probabilidades dele acontecer em cada um dos cenários possíveis, ponderadas pela probabilidade de cada cenário.
Matematicamente, isso fica assim:
P(Medicação correta) = P(Gripe) times P(Med correta | Gripe) + P(Constipação) times P(Med correta | Constipação) çãçãçã
Vamos substituir os valores que temos:
P(Med correta) = 0,60 times 0,60 + 0,40 times 0,30

Passo 4

Fazendo as contas:
P(Med correta) = 0,60 times 0,60 = 0,36
P(Med correta) += 0,40 times 0,30 = 0,12
P(Med correta) = 0,36 + 0,12 = 0,48

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: sabemos que o medicamento era o apropriado para a doença. Queremos saber qual a probabilidade de a pessoa ter tido gripe.
Aqui, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter probabilidades condicionais.

Passo 6

O Teorema de Bayes nos diz que:
P(Gripe | Med correta) = P(Med correta | Gripe) times P(Gripe)P(Med correta)
Já calculamos .
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
P(Gripe | Med correta) = 0,60 times 0,600,48
P(Gripe | Med correta) = 0,360,48 = 0,75

Resposta

A probabilidade de o doente ter tido gripe, sabendo que o medicamento era o apropriado, é de 75%.

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