Os sintomas febre, cansaço e dores no corpo, estão associadas em
dos casos às gripes e
às constipações. A automedicação é muito frequente nestas doenças, verificando-se que
das vezes os medicamentos ingeridos para o tratamento da gripe são os aconselhados para as constipações, e em
das situações os medicamentos utilizados para tratamento das constipações são os indicados para a gripe.
(a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
(b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?
(a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
(b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício que trata de probabilidade, especificamente relacionado a gripes e constipações. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A chance de o medicamento que a pessoa tomou realmente ser o indicado para a doença dela.
b) Se já sabemos que o medicamento era o correto, qual a probabilidade de a pessoa ter tido gripe.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como a probabilidade condicional e a regra da probabilidade total.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as informações que o enunciado nos deu:
-
Distribuição das doenças:
- 60% dos casos são de gripe.
- 40% dos casos são de constipação.
-
Uso de medicamentos:
- Quando a pessoa tem gripe, 40% das vezes ela toma um medicamento que é realmente indicado para constipações. Isso significa que, 60% das vezes, a medicação é a correta para a gripe.
- Quando a pessoa tem constipação, 70% das vezes ela toma um medicamento indicado para gripe. Isso quer dizer que, 30% das vezes, a medicação é a correta para a constipação.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de o medicamento tomado ser realmente o indicado, ou seja, a probabilidade de medicação correta.
Usaremos a Regra da Probabilidade Total, que nos diz que a probabilidade de um evento acontecer é a soma das probabilidades dele acontecer em cada um dos cenários possíveis, ponderadas pela probabilidade de cada cenário.
Matematicamente, isso fica assim:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 4
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: sabemos que o medicamento era o apropriado para a doença. Queremos saber qual a probabilidade de a pessoa ter tido gripe.
Aqui, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter probabilidades condicionais.
Passo 6
O Teorema de Bayes nos diz que:
Já calculamos
.
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A probabilidade de o doente ter tido gripe, sabendo que o medicamento era o apropriado, é de 75%.