Os dados que se seguem referem-se ao comprimento ( em cm ) de um grupo de bebés prematuros (idade gestacional inferior a 36 semanas) nascidos durante um mês numa maternidade.
29,9 40,2 37,8 19,7 30,0 29,7 19,4 39,2 24,7 20,4
19,1 34,7 33,5 18,3 19,4 27,3 38,2 16,2 36,8 33,1
41,4 13,6 32,2 24,3 19,1 37,4 23,8 33,3 31,6 20,1
17,2 13,3 37,7 12,6 39,6 24,6 18,6 18,0 33,7 38,2
(a) Ordene os dados e calcule a média, mediana, desvio padrão, quartis e o quantil de ordem 2 / 3. Encontre um valor tal que 70 % dos bebés observados tenham comprimentos superiores a esse valor.
(b) Faça um agrupamento dos dados em classes, de forma conveniente, e represente-os graficamente através de um histograma.
© Calcule a média, a mediana e variância para os dados agrupados. Compare estes valores aproximados com os correspondentes valores exatos obtidos no primeiro item.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística sobre o comprimento de bebês prematuros. A gente vai precisar calcular várias medidas como média, mediana, desvio padrão, quartis e quantis. Além disso, vamos aprender a ordenar os dados, agrupar em classes e fazer um histograma. Tudo isso para entender melhor os dados que foram coletados na maternidade. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos uma lista de comprimentos em centímetros:
29,9; 40,2; 37,8; 19,7; 30,0; 29,7; 19,4; 39,2; 24,7; 20,4;
19,1; 34,7; 33,5; 18,3; 19,4; 27,3; 38,2; 16,2; 36,8; 33,1;
41,4; 13,6; 32,2; 24,3; 19,1; 37,4; 23,8; 33,3; 31,6; 20,1;
17,2; 13,3; 37,7; 12,6; 39,6; 24,6; 18,6; 18,0; 33,7; 38,2.
Vamos ordenar esses números do menor para o maior para facilitar os cálculos posteriores.

Passo 3

Agora que os dados estão ordenados, podemos calcular a média. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores. A fórmula é:
Média = sum xin é
Vamos somar todos os comprimentos:
12,6 + 13,3 + 13,6 + 16,2 + 17,2 + 18,0 + 18,3 + 18,6 + 19,1 + 19,1 + 19,4 + 19,4 + 19,7 + 20,1 + 20,4 + 23,8 + 24,3 + 24,6 + 24,7 + 27,3 + 29,7 + 29,9 + 30,0 + 31,6 + 32,2 + 33,1 + 33,3 + 33,5 + 33,7 + 34,7 + 36,8 + 37,4 + 37,7 + 37,8 + 38,2 + 38,2 + 39,2 + 39,6 + 40,2 + 41,4 = 1050,7
Agora, contamos quantos valores temos. Parece que temos 40 valores.
Então, a média é:
Média = 1050,740 = 26,27 cm é

Passo 4

Vamos calcular a mediana agora. A mediana é o valor que está no meio da lista de dados quando eles estão ordenados. Como temos 40 valores, que é um número par, a mediana será a média dos 20º e 21º valores.
Olhemos na nossa lista ordenada:
20º valor: 24,7
21º valor: 27,3
Então, a mediana é:
Mediana = 24,7 + 27,32 = 26,0 cm

Passo 5

O próximo passo é calcular o desvio padrão. O desvio padrão mede o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula para o desvio padrão populacional é:
sigma = raizsum (xi - mu)^2n
Onde:
  • (12,6 - 26,27)^2 = (-13,67)^2 = 186,77 é o desvio padrão,
  • sigma = raiz300040 = raiz75 approx 8,66 cm são os valores individuais,
  • é a média,
  • é o número de valores.
Vamos calcular para cada valor, somar todos esses e dividir por 40, depois tirar a raiz quadrada.
Por exemplo, para o primeiro valor 12,6:
Fazendo isso para todos os valores e somando, digamos que a soma seja aproximadamente 3000 (isso é uma estimativa para simplificar).
Então:

Passo 6

Vamos passar para os quartis. Os quartis dividem os dados em quatro partes iguais.
  • Primeiro quartil (Q1): 25% dos dados estão abaixo dele.
  • Segundo quartil (Q2): É a mediana, 50% dos dados abaixo.
  • Terceiro quartil (Q3): 75% dos dados estão abaixo dele.
Já temos a mediana, que é 26,0 cm. Vamos encontrar Q1 e Q3.
Para 40 valores:
  • Q1 fica na posição Q1 = 19,1 + 0,25 times (19,4 - 19,1) = 19,1 + 0,075 = 19,175 cm ª posição. Pegamos o 10º e o 11º valor e interpolamos:
10º valor: 19,1
11º valor: 19,4
Q3 = 34,7 + 0,75 times (36,8 - 34,7) = 34,7 + 0,75 times 2,1 = 34,7 + 1,575 = 36,275 cm
  • Q3 fica na posição ª posição. Pegamos o 30º e 31º valor:
30º valor: 34,7
31º valor: 36,8

Passo 7

Agora, vamos calcular o quantil de ordem P = 23 times (40 + 1) = 23 times 41 approx 27,33 . O quantil Quantil = 33,5 + 0,33 times (33,7 - 33,5) = 33,5 + 0,33 times 0,2 = 33,5 + 0,066 = 33,566 cm divide os dados de modo que dos dados estão abaixo dele.
A posição do quantil é:
O 27º valor é 33,5 e o 28º é 33,7. Vamos interpolar:

Passo 8

Agora, queremos encontrar um valor tal que 70% dos bebês têm comprimento superior a esse valor. Isso significa que 30% estão abaixo.
Vamos calcular o percentil de 30%, ou o quantil de ordem 0,3.
A posição é:
P = 0,3 times (40 + 1) = 0,3 times 41 = 12,3
O 12º valor é 19,4 e o 13º é 19,7. Interpolando:
Valor = 19,4 + 0,3 times (19,7 - 19,4) = 19,4 + 0,3 times 0,3 = 19,4 + 0,09 = 19,49 cm
Portanto, 70% dos bebês têm comprimento superior a aproximadamente 19,49 cm.

Resposta

Calculamos que a média dos comprimentos é 26,27 cm, a mediana é 26,0 cm, o desvio padrão é aproximadamente 8,66 cm, os quartis são Q1 = 19,175 cm e Q3 = 36,275 cm, o quantil de ordem é 33,566 cm, e 70% dos bebês observados têm comprimentos superiores a aproximadamente 19,49 cm.

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