Um sistema de controle em malha fechada com a seguinte função de transferência em malha aberta:
G(s) H(s)=K(s+1)(s+3)(s+6)
(a) Calcule o ponto de saída no eixo real.
(b) calcule o ponto de intersecção das assíntotas.
© Calcule o valor de K que corresponde ao ponto de saída do eixo real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de controle em malha fechada com a seguinte função de transferência em malha aberta:
G(s) H(s) = K(s+1)(s+3)(s+6)
Vamos precisar entender de lugar das raízes (root locus) para resolver as partes (a), (b) e © desse exercício. Vamos usar conceitos de pólos e zeros, além de técnicas para encontrar pontos específicos no gráfico do root locus.

Passo 2

Parte (a): Calcular o ponto de saída no eixo real (breakaway point)

Primeiro, precisamos identificar onde os pólos estão no eixo real. Os pólos de G(s)H(s) são em s = -1, -3 e -6.
Para encontrar o ponto de saída (breakaway point) no eixo real, usamos a condição de que a derivada da função característica em relação a s seja zero. A função característica é:
1 + G(s)H(s) = 1 + K(s+1)(s+3)(s+6) = 0
Resolvendo para K:
K = -(s+1)(s+3)(s+6)
Para encontrar o breakaway point, derivamos K em relação a s e igualamos a zero:
dKds = 0
Vamos calcular essa derivada:
Primeiro, expandir (s+1)(s+3) = s^2 + 4s + 3 (s^2 + 4s + 3)(s+6) = s^3 + 10s^2 + 27s + 18 :
K = -(s^3 + 10s^2 + 27s + 18)
Então:
dKds = -(3s^2 + 20s + 27) = 0 3s^2 + 20s + 27 = 0
Derivando K em relação a s:
s = -20 pm raiz20^2 - 4 cdot 3 cdot 272 cdot 3 s = -20 pm raiz400 - 3246 s = -20 pm raiz766 s = -20 pm 8.726
Resolvemos essa equação quadrática para s:
s approx -20 + 8.726 approx -11.286 approx -1.88
Apenas um dos valores está no intervalo entre -3 e -1:

Passo 3

Parte (b): Calcular o ponto de intersecção das assíntotas

As assíntotas do root locus são importantes para entender o comportamento dos ramos do locus quando s vai para infinito. As assíntotas se intersectam em:
A fórmula para o ponto de intersecção das assíntotas é:
sigma = sum Pólos - sum ZerosNúmero de assíntotas óúí
Aqui, temos três pólos (-1, -3, -6) e nenhum zero. O número de assíntotas é:
n - m = 3 - 0 = 3
Então:
sigma = (-1) + (-3) + (-6)3 = -103 approx -3.333
Portanto, o ponto de intersecção das assíntotas é em s ≈ -3.333 no eixo real.

Passo 4

Parte ©: Calcular o valor de K que corresponde ao ponto de saída do eixo real

Já encontramos o ponto de saída no eixo real em s ≈ -1.88. Agora, vamos calcular o valor de K nesse ponto.
Usamos a expressão:
K = -(s+1)(s+3)(s+6)
Substituindo s ≈ -1.88:
K = -((-1.88)+1) times ((-1.88)+3) times ((-1.88)+6) K = -(-0.88) times (1.12) times (4.12) K = -(-0.88 times 1.12 times 4.12) K = 0.88 times 1.12 times 4.12 K approx 4.07

Resposta

(a) O ponto de saída no eixo real é aproximadamente .
(b) O ponto de intersecção das assíntotas está em .
© O valor de correspondente ao ponto de saída do eixo real é aproximadamente .

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