Um sistema de controle em malha fechada com a seguinte função de transferência em malha aberta:
(a) Calcule o ponto de saída no eixo real.
(b) calcule o ponto de intersecção das assíntotas.
© Calcule o valor de
que corresponde ao ponto de saída do eixo real.
(b) calcule o ponto de intersecção das assíntotas.
© Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de controle em malha fechada com a seguinte função de transferência em malha aberta:
Vamos precisar entender de lugar das raízes (root locus) para resolver as partes (a), (b) e © desse exercício. Vamos usar conceitos de pólos e zeros, além de técnicas para encontrar pontos específicos no gráfico do root locus.
Passo 2
Parte (a): Calcular o ponto de saída no eixo real (breakaway point)
Primeiro, precisamos identificar onde os pólos estão no eixo real. Os pólos de G(s)H(s) são em s = -1, -3 e -6.
Para encontrar o ponto de saída (breakaway point) no eixo real, usamos a condição de que a derivada da função característica em relação a s seja zero. A função característica é:
Resolvendo para K:
Para encontrar o breakaway point, derivamos K em relação a s e igualamos a zero:
Vamos calcular essa derivada:
Primeiro, expandir
:
Então:
Derivando K em relação a s:
Resolvemos essa equação quadrática para s:
Apenas um dos valores está no intervalo entre -3 e -1:
Passo 3
Parte (b): Calcular o ponto de intersecção das assíntotas
As assíntotas do root locus são importantes para entender o comportamento dos ramos do locus quando s vai para infinito. As assíntotas se intersectam em:
A fórmula para o ponto de intersecção das assíntotas é:
Aqui, temos três pólos (-1, -3, -6) e nenhum zero. O número de assíntotas é:
Então:
Portanto, o ponto de intersecção das assíntotas é em s ≈ -3.333 no eixo real.
Passo 4
Parte ©: Calcular o valor de K que corresponde ao ponto de saída do eixo real
Já encontramos o ponto de saída no eixo real em s ≈ -1.88. Agora, vamos calcular o valor de K nesse ponto.
Usamos a expressão:
Substituindo s ≈ -1.88:
Resposta
(a) O ponto de saída no eixo real é aproximadamente
.
(b) O ponto de intersecção das assíntotas está em
.
© O valor de
correspondente ao ponto de saída do eixo real é aproximadamente
.