Considere um sistema com a seguinte resposta impulsiva:
h[n]=(n+1)(u[n]-u[n-5])
Calcule a saída do sistema para as seguintes entradas:
n -2 -1 0 1 2
x[n] 1 2 -1 -2 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a resposta ao impulso de um sistema, que é . A gente precisa descobrir qual vai ser a saída desse sistema, , quando a entrada é dada pela tabela:
-2 -1 0 1 2
1 2 -1 -2 1
Para resolver isso, vamos usar a convolução discreta, que é um jeito de combinar a entrada com a resposta ao impulso para encontrar a saída .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função degrau unitário h[n] = (n+1)(u[n] - u[n-5]) . Ela vale 0 para e 1 para . Assim, a resposta ao impulso fica:
Isso significa que é igual a quando e zero fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos escrever os valores de para de -2 a 2. Lembrando que só é diferente de zero para :
-2 -1 0 1 2
0 0 1 2 3
Para :
Para :
Para :

Passo 4

A convolução discreta é dada por:
y[n] = sumk=-infty^infty x[k] cdot h[n - k]
Como e são não nulas apenas para alguns valores de , podemos limitar a soma aos valores relevantes. Nossa entrada é definida para e para . Então, será não nulo para que vão de -2+0 = -2 até 2+4 = 6.

Passo 5

Vamos calcular y[-2] = x[-2] cdot h[0] = 1 cdot 1 = 1 para cada valor de y[-1] = x[-1] cdot h[0] + x[-2] cdot h[1] = 2 cdot 1 + 1 cdot 2 = 2 + 2 = 4 de -2 a 6:
  • Para y[0] = x[0] cdot h[0] + x[-1] cdot h[1] + x[-2] cdot h[2] = (-1) cdot 1 + 2 cdot 2 + 1 cdot 3 = -1 + 4 + 3 = 6 :
y[1] = x[1] cdot h[0] + x[0] cdot h[1] + x[-1] cdot h[2] + x[-2] cdot h[3] = (-2) cdot 1 + (-1) cdot 2 + 2 cdot 3 + 1 cdot 4 = -2 -2 + 6 + 4 = 6
  • Para y[2] = x[2] cdot h[0] + x[1] cdot h[1] + x[0] cdot h[2] + x[-1] cdot h[3] + x[-2] cdot h[4] = 1 cdot 1 + (-2) cdot 2 + (-1) cdot 3 + 2 cdot 4 + 1 cdot 5 = 1 -4 -3 + 8 + 5 = 7 :
y[3] = x[2] cdot h[1] + x[1] cdot h[2] + x[0] cdot h[3] + x[-1] cdot h[4] = 1 cdot 2 + (-2) cdot 3 + (-1) cdot 4 + 2 cdot 5 = 2 -6 -4 +10 = 2
  • Para y[4] = x[2] cdot h[2] + x[1] cdot h[3] + x[0] cdot h[4] = 1 cdot 3 + (-2) cdot 4 + (-1) cdot 5 = 3 -8 -5 = -10 :
y[5] = x[1] cdot h[4] + x[2] cdot h[3] = (-2) cdot 5 + 1 cdot 4 = -10 + 4 = -6
  • Para y[6] = x[2] cdot h[4] = 1 cdot 5 = 5 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A saída do sistema para os valores de de -2 a 6 é:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1 4 6 6 7 2 -10 -6 5

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