Desenhe o lugar das raízes para o sistema de controle em malha fechada com a seguinte função de transferência em malha aberta:
G(s) H(s)=K(s+1)s^2(s+9)
Calcule o ponto e o ganho correspondente onde os três pólos são iguais.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício de sistemas de controle! O enunciado pede para desenharmos o lugar das raízes (root locus) para o sistema em malha fechada com a função de transferência em malha aberta dada por:
G(s) H(s) = K(s+1)s^2(s+9)
Vamos precisar entender os conceitos de lugares das raízes, polos, zeros e como calcular o ganho onde os três polos são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função de transferência. Os polos são os valores de que tornam o denominador zero, e os zeros são os valores de que tornam o numerador zero.
Para :
  • Polos: (multiplicidade 2) e
  • Zero:

Passo 3

Agora, vamos desenhar o lugar das raízes. Esse é um gráfico que mostra todos os possíveis locais dos polos da função em malha fechada conforme o ganho theta = (2k+1)180^circP - Z varia de 0 a infinito.
As regras básicas para desenhar o lugar das raízes incluem:
  1. Número de ramos: é igual ao número de polos da função de malha aberta. Aqui, temos 3 polos, então serão 3 ramos.
  2. Assíntotas: indicam a direção que os ramos tomam quando theta = pm 90^circ tende a infinito. São calculadas pelas fórmulas: Onde é o número de polos e é o número de zeros. Aqui, e , então as assíntotas são:

Passo 4

Para encontrar o ponto onde os três polos são iguais, precisamos resolver a equação característica da malha fechada onde todos os polos coincidem. A equação característica é:
1 + G(s)H(s) = 0 Rightarrow 1 + K(s+1)s^2(s+9) = 0
Multiplicando ambos os lados por s^2(s+9) + K(s+1) = 0 :
p^2(p+9) + K(p+1) = 0
Assumindo que todos os três polos são iguais a , temos:

Passo 5

Para que os três polos sejam iguais, a derivada da equação característica também deve ser zero no ponto dds[s^2(s+9) + K(s+1)] = 0 . Vamos derivar a equação em relação a 3p^2 + 18p + K = 0 :
Calculando a derivada:
Agora, temos um sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações para encontrar K = -3p^2 - 18p e p^3 + 9p^2 -3p^2 - 18p + (-3p^2 - 18p) = 0 :
Da segunda equação:
p^3 + 9p^2 -3p^2 - 18p -3p^2 - 18p = p^3 + 3p^2 -36p = 0
Substituindo na primeira equação:
p(p^2 + 3p - 36) = 0
Simplificando:
p = -3 pm raiz9 + 1442 = -3 pm raiz1532 approx -3 pm 12.372
Fatorando:
p = 9.372 approx 4.685
Então, ou resolvendo :
Como estamos buscando um polo real positivo (para estabilidade), consideramos:

Resposta

O ponto onde os três polos são iguais ocorre em e o ganho correspondente é .

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