Desenhe o lugar das raízes para o sistema de controle em malha fechada com a seguinte função de transferência em malha aberta:
Calcule o ponto e o ganho correspondente onde os três pólos são iguais.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício de sistemas de controle! O enunciado pede para desenharmos o lugar das raízes (root locus) para o sistema em malha fechada com a função de transferência em malha aberta dada por:
Vamos precisar entender os conceitos de lugares das raízes, polos, zeros e como calcular o ganho
onde os três polos são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função de transferência. Os polos são os valores de
que tornam o denominador zero, e os zeros são os valores de
que tornam o numerador zero.
Para
:
- Polos:
(multiplicidade 2) e - Zero:
Passo 3
Agora, vamos desenhar o lugar das raízes. Esse é um gráfico que mostra todos os possíveis locais dos polos da função em malha fechada conforme o ganho
varia de 0 a infinito.
As regras básicas para desenhar o lugar das raízes incluem:
- Número de ramos: é igual ao número de polos da função de malha aberta. Aqui, temos 3 polos, então serão 3 ramos.
- Assíntotas: indicam a direção que os ramos tomam quando
tende a infinito. São calculadas pelas fórmulas: Onde é o número de polos e é o número de zeros. Aqui, e , então as assíntotas são:
Passo 4
Para encontrar o ponto onde os três polos são iguais, precisamos resolver a equação característica da malha fechada onde todos os polos coincidem. A equação característica é:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assumindo que todos os três polos são iguais a
, temos:
Passo 5
Para que os três polos sejam iguais, a derivada da equação característica também deve ser zero no ponto
. Vamos derivar a equação em relação a
:
Calculando a derivada:
Agora, temos um sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações para encontrar
e
:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Fatorando:
Então,
ou resolvendo
:
Como estamos buscando um polo real positivo (para estabilidade), consideramos:
Resposta
O ponto onde os três polos são iguais ocorre em
e o ganho correspondente é
.