Um sistema massa-mola de 1 Kg com uma constante elástica de
, é submetido a uma força de amortecimento dada por
, onde
. O bloco é puxado 1 m para baixo e liberado, com este dados, e partido da solução do MHS amortecido.
(a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para a metade do valor inicial.
(b) Quantas oscilações o bloco realiza neste intervalo de tempo?
(a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para a metade do valor inicial.
(b) Quantas oscilações o bloco realiza neste intervalo de tempo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola com amortecimento. O que a questão pede é para calcular quanto tempo leva para a amplitude das oscilações diminuir pela metade e quantas oscilações o bloco faz nesse tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS) amortecido, onde consideramos a massa, a constante elástica da mola e o coeficiente de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Massa $ m = 1 , kg $
- Constante elástica $ k = 9,01 , N/m $
- Coeficiente de amortecimento $ b = 0,2 , kg/s $
- Amplitude inicial $ A_0 = 1 , m $
Passo 3
No movimento harmônico simples amortecido, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A expressão para a amplitude em função do tempo é:
Onde $ \gamma $ é a taxa de amortecimento, que pode ser calculada por:
Passo 4
Vamos calcular $ \gamma $:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo $ t $ em que a amplitude $ A(t) $ seja metade da amplitude inicial $ A_0 $. Então:
Dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
Passo 6
Para resolver essa equação para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que $ \ln{\left(\frac{1}{2}\right)} = -\ln{2} $, então:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 7
Agora, isolamos $ t $:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos calcular quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo. Primeiro, precisamos encontrar a frequência das oscilações amortecidas.
A frequência angular amortecida $ \omega_d $ é dada por:
Vamos calcular:
Passo 9
A frequência $ f $ em Hz (oscilações por segundo) é:
Passo 10
Agora, multiplicamos a frequência pelo tempo para achar o número de oscilações:
Como não podemos ter uma fração de oscilações completas, podemos dizer que o bloco realiza aproximadamente 3 oscilações nesse intervalo de tempo.
Resposta
(b) O bloco realiza aproximadamente 3 oscilações nesse intervalo de tempo.