Um sistema massa-mola de 1 Kg com uma constante elástica de 9,01 N / m, é submetido a uma força de amortecimento dada por -b(d x / d t), onde b=0,2 kg / s. O bloco é puxado 1 m para baixo e liberado, com este dados, e partido da solução do MHS amortecido.
(a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para a metade do valor inicial.
(b) Quantas oscilações o bloco realiza neste intervalo de tempo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola com amortecimento. O que a questão pede é para calcular quanto tempo leva para a amplitude das oscilações diminuir pela metade e quantas oscilações o bloco faz nesse tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS) amortecido, onde consideramos a massa, a constante elástica da mola e o coeficiente de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Massa $ m = 1 , kg $
  • Constante elástica $ k = 9,01 , N/m $
  • Coeficiente de amortecimento $ b = 0,2 , kg/s $
  • Amplitude inicial $ A_0 = 1 , m $

Passo 3

No movimento harmônico simples amortecido, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A expressão para a amplitude em função do tempo é:
A(t) = A0 e^-gamma t
Onde $ \gamma $ é a taxa de amortecimento, que pode ser calculada por:
gamma

Passo 4

Vamos calcular $ \gamma $:
gamma

Passo 5

Queremos encontrar o tempo $ t $ em que a amplitude $ A(t) $ seja metade da amplitude inicial $ A_0 $. Então:
t
Dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
A(t)

Passo 6

Para resolver essa equação para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
t
Sabemos que $ \ln{\left(\frac{1}{2}\right)} = -\ln{2} $, então:
ln(12) = -0,1 t
Cancelando os sinais negativos:
ln(12) = -ln2

Passo 7

Agora, isolamos $ t $:
t
Calculando:
t = ln20,1

Passo 8

Agora, vamos calcular quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo. Primeiro, precisamos encontrar a frequência das oscilações amortecidas.
A frequência angular amortecida $ \omega_d $ é dada por:
omegad
Vamos calcular:
omegad = raizkm - gamma^2

Passo 9

A frequência $ f $ em Hz (oscilações por segundo) é:
f

Passo 10

Agora, multiplicamos a frequência pelo tempo para achar o número de oscilações:
Número de oscilações = f times t = 0,477 times 6,931 approx 3,3 úçõ
Como não podemos ter uma fração de oscilações completas, podemos dizer que o bloco realiza aproximadamente 3 oscilações nesse intervalo de tempo.

Resposta

(b) O bloco realiza aproximadamente 3 oscilações nesse intervalo de tempo.

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