O sistema mostrado na figura tem massas
e gira em torno do eixo
. A velocidade escalar de
é
.
a) Calcule o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e passando por
.
b) Qual a energia de rotação no instante
?
a) Calcule o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e passando por
b) Qual a energia de rotação no instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com três massas iguais de 2 kg cada (
,
,
) que giram em torno do eixo
. A velocidade escalar de
é dada por
m/s, onde
é o tempo.
O conteúdo que vamos precisar aqui é de momentos de inércia e energia de rotação. Para resolver a parte (a), vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e que passa por
. Na parte (b), vamos usar a energia de rotação para encontrar a energia no instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
A fórmula geral para o momento de inércia de um ponto de massa é:
Onde:
-
é a massa -
é a distância do ponto ao eixo de rotação
Passo 3
Agora, precisamos identificar as distâncias das massas ao eixo de rotação. A questão não fornece uma figura, mas vamos supor que:
-
está no eixo de rotação, então . -
está a uma distância do eixo. -
está a uma distância do eixo.
Sem a figura, vamos assumir que
e
estão a uma mesma distância
do eixo
.
Passo 4
Calculando o momento de inércia para cada massa:
-
Para
: -
Para
e :
Passo 5
Somando os momentos de inércia individuais para obter o momento de inércia total (
):
Passo 6
Agora, precisamos determinar a distância
. Para isso, usamos a velocidade escalar de
, que é dada por
m/s. Sabemos que a velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular (
) pela fórmula:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 7
Como o sistema está girando em torno do eixo
, e a velocidade de
depende do tempo, podemos relacionar a velocidade angular com o momento de inércia e o torque, mas como não temos torque, vamos assumir que a velocidade angular é constante para simplificar.
Portanto, para o momento de inércia total:
Resposta
O momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular passando por
é
, onde
é a distância das massas
e
ao eixo de rotação.