O sistema mostrado na figura tem massas e gira em torno do eixo . A velocidade escalar de é .
a) Calcule o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e passando por .
b) Qual a energia de rotação no instante ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com três massas iguais de 2 kg cada ( , , ) que giram em torno do eixo . A velocidade escalar de é dada por m/s, onde é o tempo.
O conteúdo que vamos precisar aqui é de momentos de inércia e energia de rotação. Para resolver a parte (a), vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e que passa por . Na parte (b), vamos usar a energia de rotação para encontrar a energia no instante .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
A fórmula geral para o momento de inércia de um ponto de massa é:
Onde:
  • é a massa
  • é a distância do ponto ao eixo de rotação

Passo 3

Agora, precisamos identificar as distâncias das massas ao eixo de rotação. A questão não fornece uma figura, mas vamos supor que:
  • está no eixo de rotação, então .
  • está a uma distância do eixo.
  • está a uma distância do eixo.
Sem a figura, vamos assumir que e estão a uma mesma distância do eixo .

Passo 4

Calculando o momento de inércia para cada massa:
  • Para :
  • Para e :

Passo 5

Somando os momentos de inércia individuais para obter o momento de inércia total ( ):

Passo 6

Agora, precisamos determinar a distância . Para isso, usamos a velocidade escalar de , que é dada por m/s. Sabemos que a velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular ( ) pela fórmula:
Rearranjando para encontrar :

Passo 7

Como o sistema está girando em torno do eixo , e a velocidade de depende do tempo, podemos relacionar a velocidade angular com o momento de inércia e o torque, mas como não temos torque, vamos assumir que a velocidade angular é constante para simplificar.
Portanto, para o momento de inércia total:

Resposta

O momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular passando por é , onde é a distância das massas e ao eixo de rotação.

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