O sistema mostrado na figura tem massas m1=m2=m3=2 kg e gira em torno do eixo y. A velocidade escalar de m3 é 20 t(m / s).
a) Calcule o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e passando por m1.
b) Qual a energia de rotação no instante t=2 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com três massas iguais de 2 kg cada ( m1, m2, m3) que giram em torno do eixo y. A velocidade escalar de m3 é dada por 20t m/s, onde t é o tempo.
O conteúdo que vamos precisar aqui é de momentos de inércia e energia de rotação. Para resolver a parte (a), vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano da figura e que passa por m1. Na parte (b), vamos usar a energia de rotação para encontrar a energia no instante t = 2,s.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia. O momento de inércia ( I) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
A fórmula geral para o momento de inércia de um ponto de massa é:
I = m cdot r^2
Onde:
  • m é a massa
  • r é a distância do ponto ao eixo de rotação

Passo 3

Agora, precisamos identificar as distâncias das massas ao eixo de rotação. A questão não fornece uma figura, mas vamos supor que:
  • m1 está no eixo de rotação, então r1 = 0.
  • m2 está a uma distância r2 do eixo.
  • m3 está a uma distância r3 do eixo.
Sem a figura, vamos assumir que m2 e m3 estão a uma mesma distância r do eixo y.

Passo 4

Calculando o momento de inércia para cada massa:
  • Para m1:
    I1 = m1 cdot r1^2 = 2,kg cdot 0^2 = 0,kg cdot m^2
  • Para m2 e m3:
    I2 = I3 = m cdot r^2 = 2,kg cdot r^2

Passo 5

Somando os momentos de inércia individuais para obter o momento de inércia total ( Itotal):
Itotal = I1 + I2 + I3 = 0 + 2,kg cdot r^2 + 2,kg cdot r^2 = 4,kg cdot r^2

Passo 6

Agora, precisamos determinar a distância r. Para isso, usamos a velocidade escalar de m3, que é dada por v = 20t m/s. Sabemos que a velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular ( omega) pela fórmula:
v = omega cdot r
Rearranjando para encontrar omega:
omega = vr = 20tr

Passo 7

Como o sistema está girando em torno do eixo y, e a velocidade de m3 depende do tempo, podemos relacionar a velocidade angular com o momento de inércia e o torque, mas como não temos torque, vamos assumir que a velocidade angular é constante para simplificar.
Portanto, para o momento de inércia total:
Itotal = 4,kg cdot r^2

Resposta

O momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular passando por m1 é 4,kg cdot r^2, onde r é a distância das massas m2 e m3 ao eixo de rotação.

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