O sistema é representado pela equação diferencial
Determine a resposta senoidal do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que representa um sistema:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares e Resposta de Sistemas a Forças Senoidais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de resposta em regime permanente para funções harmônicas, ou seja, funções senoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo representa:
-
: Termo de aceleração, relacionado à inércia do sistema. -
: Termo de amortecimento, relacionado à resistência ou atrito. -
: Termo elástico, relacionado à força restauradora. -
: Força externa aplicada ao sistema.
Passo 3
Como queremos a resposta senoidal do sistema, vamos assumir que a força externa
é uma função senoidal. Ou seja,
Onde:
-
é a amplitude da força. -
é a frequência angular da força.
Passo 4
A solução da equação diferencial pode ser expressa como a soma da solução homogênea (resposta natural) e da solução particular (resposta forçada). Mas como estamos interessados na resposta senoidal no regime permanente, vamos focar na solução particular.
Vamos propor uma solução do tipo:
Onde
e
são coeficientes que determinaremos.
Passo 5
Derivando
para encontrar
e
:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Passo 7
Agrupando os termos de
e
:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação:
Passo 9
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para
e
.
Da segunda equação:
Passo 10
Substituindo
na primeira equação:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Passo 12
Resolvendo para
:
Passo 13
Agora, substituindo
na expressão para
:
Passo 14
Finalmente, a resposta senoidal do sistema é:
Resposta
A resposta senoidal do sistema é: