O sistema é representado pela equação diferencial
A ddotbul<=t(t)+B dotx(t)+C x(t)=f(t)
Determine a resposta senoidal do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que representa um sistema:
A ddotx(t) + B dotx(t) + C x(t) = f(t)
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares e Resposta de Sistemas a Forças Senoidais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de resposta em regime permanente para funções harmônicas, ou seja, funções senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo representa:
  • A ddotx(t): Termo de aceleração, relacionado à inércia do sistema.
  • B dotx(t): Termo de amortecimento, relacionado à resistência ou atrito.
  • C x(t): Termo elástico, relacionado à força restauradora.
  • f(t): Força externa aplicada ao sistema.

Passo 3

Como queremos a resposta senoidal do sistema, vamos assumir que a força externa f(t) é uma função senoidal. Ou seja,
f(t) = F0 cos(omega t)
Onde:
  • F0 é a amplitude da força.
  • omega é a frequência angular da força.

Passo 4

A solução da equação diferencial pode ser expressa como a soma da solução homogênea (resposta natural) e da solução particular (resposta forçada). Mas como estamos interessados na resposta senoidal no regime permanente, vamos focar na solução particular.
Vamos propor uma solução do tipo:
xp(t) = X cos(omega t) + Y sin(omega t)
Onde X e Y são coeficientes que determinaremos.

Passo 5

Derivando xp(t) para encontrar dotxp(t) e ddotxp(t):
dotxp(t) = -X omega sin(omega t) + Y omega cos(omega t)
ddotxp(t) = -X omega^2 cos(omega t) - Y omega^2 sin(omega t)

Passo 6

Substituindo xp(t), dotxp(t) e ddotxp(t) na equação diferencial original:
A (-X omega^2 cos(omega t) - Y omega^2 sin(omega t)) + B (-X omega sin(omega t) + Y omega cos(omega t)) + C (X cos(omega t) + Y sin(omega t)) = F0 cos(omega t)

Passo 7

Agrupando os termos de cos(omega t) e sin(omega t):
[ -A X omega^2 + B Y + C X ] cos(omega t) + [ -A Y omega^2 - B X + C Y ] sin(omega t) = F0 cos(omega t)

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo t, os coeficientes de cos(omega t) e sin(omega t) devem ser iguais nos dois lados da equação:
- A X omega^2 + B Y + C X = F0
- A Y omega^2 - B X + C Y = 0

Passo 9

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para X e Y.
Da segunda equação:
- A Y omega^2 - B X + C Y = 0 Rightarrow (-A omega^2 + C) Y = B X Rightarrow Y = BA omega^2 - C X

Passo 10

Substituindo Y na primeira equação:
- A X omega^2 + B ( BA omega^2 - C X ) + C X = F0 Rightarrow - A omega^2 X + B^2A omega^2 - C X + C X = F0
Multiplicando tudo por (A omega^2 - C) para eliminar o denominador:
- A omega^2 (A omega^2 - C) X + B^2 X + C (A omega^2 - C) X = F0 (A omega^2 - C)

Passo 11

Simplificando a expressão:
[ -A^2 omega^4 + A C omega^2 + B^2 + A C omega^2 - C^2 ] X = F0 (A omega^2 - C) Rightarrow [ -A^2 omega^4 + 2A C omega^2 + B^2 - C^2 ] X = F0 (A omega^2 - C)

Passo 12

Resolvendo para X:
X = F0 (A omega^2 - C) -A^2 omega^4 + 2A C omega^2 + B^2 - C^2 = F0 (A omega^2 - C) B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4

Passo 13

Agora, substituindo X na expressão para Y:
Y = BA omega^2 - C cdot F0 (A omega^2 - C) B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4 = B F0 B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4

Passo 14

Finalmente, a resposta senoidal do sistema é:
xp(t) = X cos(omega t) + Y sin(omega t) = F0 (A omega^2 - C) B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4 cos(omega t) + B F0 B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4 sin(omega t)

Resposta

A resposta senoidal do sistema é:
xp(t) = F0 (A omega^2 - C) B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4 cos(omega t) + B F0 B^2 + 2A C omega^2 - C^2 - A^2 omega^4 sin(omega t)

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