Considere o sistema com realimentação unitária e função de transferência de malha aberta
G(s)=10s+1
Obtenha a saída em regime permanente do sistema quando estiver sujeito a cada uma das seguintes entradas:
a- r(t)=sen(t+30^circ)
b- r(t)=2 cos (2 t-45^circ)
c- r(t)=sen(t+30^circ)-2 cos (2 t-45^circ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas de controle com realimentação unitária. O enunciado nos dá a função de transferência de malha aberta e pede para encontrarmos a saída em regime permanente quando o sistema é submetido a diferentes entradas senoidais e cossenoidais. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de funções de transferência, realimentação em sistemas de controle e como calcular a saída em regime permanente usando respostas a entradas periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada T(s) = G(s)1 + G(s) é dada por:
T(s) = 10s+11 + 10s+1 = 10s+1 + 10 = 10s+11
Substituindo pela função dada:

Passo 3

Agora, para encontrar a saída em regime permanente quando a entrada é uma senoide ou cossenoide, podemos usar a resposta a entradas periódicas. Sabemos que se a entrada for do tipo ou , a saída em regime permanente também será uma senoide ou cossenoide com a mesma frequência, mas com amplitude e fase ajustadas pelo sistema.

Passo 4

Vamos considerar a entrada da alínea (a):
a) sin(t + 30^circ) = sin t cos 30^circ + cos t sin 30^circ
Primeiro, reescrevemos em termos de sinais e cossenos:
sin(t + 30^circ) = raiz32 sin t + 12 cos t
Sabemos que e , então:

Passo 5

Para cada componente da entrada, aplicamos a função de transferência do sistema em malha fechada Resposta = 10raiz(11)^2 + (1)^2 sin(t + phi) . A resposta a uma entrada é:
Onde .

Passo 6

Calculando a amplitude e a fase:
|T(jomega)| = 10raiz121 + 1 = 10raiz122 approx 0,906
phi = arctan(111) approx 5,19^circ

Passo 7

Multiplicando a amplitude e ajustando a fase para cada componente da entrada:
Saída = 0,906 ( raiz32 sin(t + 5,19^circ) + 12 cos(t + 5,19^circ) ) í
Simplificando:
Saída approx 0,906 cdot sin(t + 35,19^circ) í

Resposta

A saída em regime permanente para a entrada y(t) approx 0,906 cdot sin(t + 35,19^circ) é aproximadamente:

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