assuma K=0,25 e determine o valor de T tal que a resposta do sistema ao degrau unitário seja criticamente amortecida;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de quando , de modo que a resposta do sistema a um degrau unitário seja criticamente amortecida. Isso envolve conceitos de sistemas de segunda ordem e amortecimento. Para resolver, vamos precisar entender o que é amortecimento crítico e como relacionar isso com os parâmetros e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um sistema ser criticamente amortecido. Em sistemas de segunda ordem, o amortecimento descreve como o sistema responde a uma perturbação. O amortecimento crítico ocorre quando o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. Matematicamente, isso acontece quando o coeficiente de amortecimento é igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função de transferência típica de um sistema de segunda ordem:
H(s) = K omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
onde:
  • é o ganho do sistema,
  • é a frequência natural,
  • é o coeficiente de amortecimento.
Para o amortecimento crítico, . Então, nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa condição.

Passo 4

Assumindo que a relação entre e os outros parâmetros seja dada (por exemplo, através da frequência natural ), precisamos expressar em termos de . Muitas vezes, em sistemas de controle, temos . Vamos usar essa relação para substituir na função de transferência.

Passo 5

Substituindo H(s) = K (1T)^2s^2 + 2 (1) (1T) s + (1T)^2 e H(s) = KT^2s^2 + 2T s + 1T^2 na função de transferência, temos:
Simplificando:

Passo 6

Do enunciado, sabemos que H(s) = 0,25T^2s^2 + 2T s + 1T^2 . Substituindo esse valor na equação:

Passo 7

Para que o sistema seja criticamente amortecido, a condição já está satisfeita. Agora, precisamos garantir que o sistema responda corretamente ao degrau unitário. Analisando a função de transferência, podemos igualar os coeficientes para encontrar .

Passo 8

Observando os coeficientes do denominador:
2 (1T) = 2 zeta omegan = 2 times 1 times 1T = 2T
Isso confirma que nossa escolha de é consistente. Agora, podemos relacionar o ganho com .

Passo 9

Igualando os termos de KT^2 = 1T^2 Rightarrow K = 1 :
Mas sabemos que , então há uma discrepância. Isso indica que precisamos reconsiderar a relação entre e para garantir o amortecimento crítico.

Passo 10

Na verdade, a condição para amortecimento crítico também relaciona K = (1T)^2 Rightarrow T = 1raizK e . A partir da igualdade e , temos:

Resposta

Substituindo T = 1raiz0,25 = 10,5 = 2 na equação acima:
Então, o valor de que torna a resposta do sistema criticamente amortecida é 2.

Exercícios relacionados