assuma
e determine o valor de
tal que a resposta do sistema ao degrau unitário seja criticamente amortecida;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de
quando
, de modo que a resposta do sistema a um degrau unitário seja criticamente amortecida. Isso envolve conceitos de sistemas de segunda ordem e amortecimento. Para resolver, vamos precisar entender o que é amortecimento crítico e como relacionar isso com os parâmetros
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um sistema ser criticamente amortecido. Em sistemas de segunda ordem, o amortecimento descreve como o sistema responde a uma perturbação. O amortecimento crítico ocorre quando o sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. Matematicamente, isso acontece quando o coeficiente de amortecimento
é igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função de transferência típica de um sistema de segunda ordem:
onde:
-
é o ganho do sistema, -
é a frequência natural, -
é o coeficiente de amortecimento.
Para o amortecimento crítico,
. Então, nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essa condição.
Passo 4
Assumindo que a relação entre
e os outros parâmetros seja dada (por exemplo, através da frequência natural
), precisamos expressar
em termos de
. Muitas vezes, em sistemas de controle, temos
. Vamos usar essa relação para substituir na função de transferência.
Passo 5
Substituindo
e
na função de transferência, temos:
Simplificando:
Passo 6
Do enunciado, sabemos que
. Substituindo esse valor na equação:
Passo 7
Para que o sistema seja criticamente amortecido, a condição
já está satisfeita. Agora, precisamos garantir que o sistema responda corretamente ao degrau unitário. Analisando a função de transferência, podemos igualar os coeficientes para encontrar
.
Passo 8
Observando os coeficientes do denominador:
Isso confirma que nossa escolha de
é consistente. Agora, podemos relacionar o ganho
com
.
Passo 9
Igualando os termos de
:
Mas sabemos que
, então há uma discrepância. Isso indica que precisamos reconsiderar a relação entre
e
para garantir o amortecimento crítico.
Passo 10
Na verdade, a condição para amortecimento crítico também relaciona
e
. A partir da igualdade
e
, temos:
Resposta
Substituindo
na equação acima:
Então, o valor de
que torna a resposta do sistema criticamente amortecida é 2.