Sobre o binômio de Newton (x+1,5)^4, André, Bruno e Carla fazem as seguintes afirmações:
  • André: No desenvolvimento do binômio, o coeficiente 13,5 pertence, exatamente, a dois termos.
  • Bruno: Ao realizar o desenvolvimento do binômio, não existem números inteiros como coeficientes.
  • Carla: O coeficiente de x^2 no desenvolvimento do binômio é 13,5. Sobre as afirmações, assinale o que for correto
    a) André e Bruno estão corretos e Carla está errada.
    b) André e Carla estão corretos e Bruno está errado.
    c) Carla e Bruno estão corretos e André está errado.
    d) Somente Carla está certa.
    e) Todos os participantes estão errados.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para analisar o desenvolvimento do binômio de Newton (x + 1,5)^4 e verificar quais das afirmações de André, Bruno e Carla estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Fórmula do Binômio de Newton e entender como encontrar os coeficientes dos termos no desenvolvimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões como (a + b)^n. A fórmula é:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, calculado por:
binomnk = n!k!(n - k)!
No nosso caso, a = x, b = 1,5 e n = 4.

Passo 3

Vamos expandir (x + 1,5)^4 usando a fórmula. Precisamos calcular cada termo da soma para k de 0 a 4.
  1. Para k = 0:
    binom40 x^4 (1,5)^0 = 1 cdot x^4 cdot 1 = x^4
  2. Para k = 1:
    binom41 x^3 (1,5)^1 = 4 cdot x^3 cdot 1,5 = 6x^3
  3. Para k = 2:
    binom42 x^2 (1,5)^2 = 6 cdot x^2 cdot 2,25 = 13,5x^2
  4. Para k = 3:
    binom43 x^1 (1,5)^3 = 4 cdot x cdot 3,375 = 13,5x
  5. Para k = 4:
    binom44 x^0 (1,5)^4 = 1 cdot 1 cdot 5,0625 = 5,0625
Agora, juntando todos os termos, temos:
(x + 1,5)^4 = x^4 + 6x^3 + 13,5x^2 + 13,5x + 5,0625

Passo 4

Vamos analisar cada afirmação:
  • André: “No desenvolvimento do binômio, o coeficiente 13,5 pertence, exatamente, a dois termos.”
    Observando o desenvolvimento, vemos que o coeficiente 13,5 aparece nos termos x^2 e x. Portanto, André está correto.
  • Bruno: “Ao realizar o desenvolvimento do binômio, não existem números inteiros como coeficientes.”
    Olhando novamente, vemos que os coeficientes são 1, 6, 13,5, 13,5, 5,0625. O número 6 é inteiro. Portanto, Bruno está errado.
  • Carla: “O coeficiente de x^2 no desenvolvimento do binômio é 13,5.”
    Conforme calculamos, o coeficiente de x^2 é 13,5. Portanto, Carla está correta.

Resposta

A alternativa correta é b) André e Carla estão corretos e Bruno está errado.

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