Sobre o binômio de Newton , André, Bruno e Carla fazem as seguintes afirmações:
  • André: No desenvolvimento do binômio, o coeficiente 13,5 pertence, exatamente, a dois termos.
  • Bruno: Ao realizar o desenvolvimento do binômio, não existem números inteiros como coeficientes.
  • Carla: O coeficiente de no desenvolvimento do binômio é 13,5. Sobre as afirmações, assinale o que for correto
    a) André e Bruno estão corretos e Carla está errada.
    b) André e Carla estão corretos e Bruno está errado.
    c) Carla e Bruno estão corretos e André está errado.
    d) Somente Carla está certa.
    e) Todos os participantes estão errados.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para analisar o desenvolvimento do binômio de Newton e verificar quais das afirmações de André, Bruno e Carla estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Fórmula do Binômio de Newton e entender como encontrar os coeficientes dos termos no desenvolvimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões como . A fórmula é:
Onde é o coeficiente binomial, calculado por:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos expandir usando a fórmula. Precisamos calcular cada termo da soma para de 0 a 4.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
Agora, juntando todos os termos, temos:

Passo 4

Vamos analisar cada afirmação:
  • André: “No desenvolvimento do binômio, o coeficiente 13,5 pertence, exatamente, a dois termos.”
    Observando o desenvolvimento, vemos que o coeficiente 13,5 aparece nos termos e . Portanto, André está correto.
  • Bruno: “Ao realizar o desenvolvimento do binômio, não existem números inteiros como coeficientes.”
    Olhando novamente, vemos que os coeficientes são 1, 6, 13,5, 13,5, 5,0625. O número 6 é inteiro. Portanto, Bruno está errado.
  • Carla: “O coeficiente de no desenvolvimento do binômio é 13,5.”
    Conforme calculamos, o coeficiente de é 13,5. Portanto, Carla está correta.

Resposta

A alternativa correta é b) André e Carla estão corretos e Bruno está errado.

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