Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
f(x1, x2, x3)=cc (x1+x2) e^-x3 & 00 0 & caso contrário á
Verifique á independência das variáveis:
c) X 2, X 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma variável aleatória tridimensional com uma função densidade específica. Nosso objetivo aqui é verificar se as variáveis e são independentes. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de função densidade conjunta e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Duas variáveis fXY(x,y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes se a função densidade conjunta for igual ao produto das funções densidade marginais e , ou seja:
Então, para verificar se e são independentes, precisamos encontrar a função densidade marginal de ( ) e a função densidade marginal de ( ), e depois verificar se o produto dessas marginais é igual à função densidade conjunta .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função densidade marginal de fX2(x2) = integral0^1 integral0^infty f(x1, x2, x3) , dx3 , dx1 . Para isso, integramos a função densidade conjunta fX2(x2) = integral0^1 integral0^infty (x1 + x2) e^-x3 , dx3 , dx1 em relação às outras variáveis ( integral0^infty e^-x3 , dx3 = 1 e fX2(x2) = integral0^1 (x1 + x2) cdot 1 , dx1 = integral0^1 x1 + x2 , dx1 ):
fX2(x2) = [ x1^22 + x2 x1 ]0^1 = 12 + x2
Substituindo a função densidade dada:
fX2(x2) = x2 + 12
A integral interna em relação a é:
Então:
Integrando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de fX3(x3) = integral0^1 integral0^1 f(x1, x2, x3) , dx2 , dx1 . Para isso, integramos a função densidade conjunta fX3(x3) = integral0^1 integral0^1 (x1 + x2) e^-x3 , dx2 , dx1 em relação a fX3(x3) = e^-x3 integral0^1 integral0^1 (x1 + x2) , dx2 , dx1 e integral0^1 (x1 + x2) , dx2 = x1 x2 + x2^22 |0^1 = x1 + 12 :
integral0^1 ( x1 + 12 ) , dx1 = x1^22 + 12 x1 |0^1 = 12 + 12 = 1
Substituindo a função densidade dada:
fX3(x3) = e^-x3 cdot 1 = e^-x3
Como não depende de e , podemos fatorá-lo:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Então:

Passo 5

Agora precisamos encontrar a função densidade conjunta de fX2 X3(x2, x3) = integral0^1 f(x1, x2, x3) , dx1 e fX2 X3(x2, x3) = integral0^1 (x1 + x2) e^-x3 , dx1 , ou seja, fX2 X3(x2, x3) = e^-x3 integral0^1 (x1 + x2) , dx1 . Pela definição, essa função é obtida mantendo integral0^1 (x1 + x2) , dx1 = 12 + x2 e fX2 X3(x2, x3) = e^-x3 ( x2 + 12 ) fixos e variando :
Substituindo a função densidade dada:
Como não depende de , podemos fatorá-lo:
Já calculamos essa integral no Passo 3:
Então:

Passo 6

Agora que temos fX2 X3(x2, x3) = fX2(x2) cdot fX3(x3) , e^-x3 ( x2 + 12 ) stackrel?= ( x2 + 12 ) cdot e^-x3 e fX2 X3(x2, x3) = fX2(x2) cdot fX3(x3) , vamos verificar se a independência é válida:
Verificamos se:
Substituindo:
Observamos que ambos os lados são iguais, confirmando que:

Resposta

As variáveis e são independentes.

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