Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
á
Verifique á independência das variáveis:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma variável aleatória tridimensional com uma função densidade específica. Nosso objetivo aqui é verificar se as variáveis e são independentes. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de função densidade conjunta e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Duas variáveis e são independentes se a função densidade conjunta for igual ao produto das funções densidade marginais e , ou seja:
Então, para verificar se e são independentes, precisamos encontrar a função densidade marginal de ( ) e a função densidade marginal de ( ), e depois verificar se o produto dessas marginais é igual à função densidade conjunta .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função densidade marginal de . Para isso, integramos a função densidade conjunta em relação às outras variáveis ( e ):
Substituindo a função densidade dada:
A integral interna em relação a é:
Então:
Integrando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de . Para isso, integramos a função densidade conjunta em relação a e :
Substituindo a função densidade dada:
Como não depende de e , podemos fatorá-lo:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Então:

Passo 5

Agora precisamos encontrar a função densidade conjunta de e , ou seja, . Pela definição, essa função é obtida mantendo e fixos e variando :
Substituindo a função densidade dada:
Como não depende de , podemos fatorá-lo:
Já calculamos essa integral no Passo 3:
Então:

Passo 6

Agora que temos , e , vamos verificar se a independência é válida:
Verificamos se:
Substituindo:
Observamos que ambos os lados são iguais, confirmando que:

Resposta

As variáveis e são independentes.

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