Um solenóide de 23 cm de comprimento é enrolado em três camadas. Cada camada contém 80 espiras; a primeira camada tem 3 cm de raio, a segunda 3,05 cm e a terceira 3,1 cm. Se o enrolamento conduzir uma corrente de 5 A , encontre a indução magnética ao longo do eixo do solenoide.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um solenóide, que é basicamente uma bobina longa formada por várias espiras de fio, com 23 cm de comprimento. Esse solenóide é enrolado em três camadas, cada uma com 80 espiras. As camadas têm raios ligeiramente diferentes: 3 cm, 3,05 cm e 3,1 cm. A corrente que passa pelo fio é de 5 A. Nosso objetivo aqui é encontrar a indução magnética, ou seja, o campo magnético, ao longo do eixo desse solenóide.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a fórmula para o campo magnético gerado por uma espira circular e como somar os campos de várias camadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético no eixo de uma única espira circular de raio $ r $ com corrente $ I $. A fórmula para isso é:
r
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $)
  • $ I $ é a corrente
  • $ r $ é o raio da espira
  • $ x $ é a distância ao longo do eixo a partir do centro da espira
Como queremos o campo ao longo do eixo do solenóide, vamos considerar $ x $ variando ao longo do comprimento do solenóide.

Passo 3

Agora, como temos três camadas de espiras com diferentes raios, precisamos calcular o campo magnético total somando o campo de cada camada. Cada camada tem 80 espiras, então o número total de espiras é $ N = 3 \times 80 = 240 $.
Entretanto, cada camada tem um raio diferente, então o campo de cada camada será um pouco diferente. Vamos chamar as três camadas de $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ com raios $ r_1 = 3 , cm $, $ r_2 = 3,05 , cm $ e $ r_3 = 3,1 , cm $ respectivamente.
Para cada camada, o campo magnético no eixo será:
N = 3 times 80 = 240
Onde $ i = 1, 2, 3 $.

Passo 4

A indução magnética total $ B_{total}(x) $ ao longo do eixo do solenóide será a soma dos campos das três camadas:
Btotal(x)
Substituindo as expressões de cada camada:
Btotal(x) = B1(x) + B2(x) + B3(x)

Resposta

A indução magnética ao longo do eixo do solenóide é dada pela soma dos campos das três camadas:
Btotal(x) = mu0 I r1^22 (r1^2 + x^2)^3/2 + mu0 I r2^22 (r2^2 + x^2)^3/2 + mu0 I r3^22 (r3^2 + x^2)^3/2
Substituindo os valores fornecidos:
Btotal(x) = 4pi times 10^-7 times 5 times (0,03)^22 ((0,03)^2 + x^2)^3/2 + 4pi times 10^-7 times 5 times (0,0305)^22 ((0,0305)^2 + x^2)^3/2 + 4pi times 10^-7 times 5 times (0,031)^22 ((0,031)^2 + x^2)^3/2
Essa expressão te dá o campo magnético em qualquer ponto $ x $ ao longo do eixo do solenóide.

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