Um solenóide de 23 cm de comprimento é enrolado em três camadas. Cada camada contém 80 espiras; a primeira camada tem 3 cm de raio, a segunda 3,05 cm e a terceira
. Se o enrolamento conduzir uma corrente de 5 A , encontre a indução magnética ao longo do eixo do solenoide.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um solenóide, que é basicamente uma bobina longa formada por várias espiras de fio, com 23 cm de comprimento. Esse solenóide é enrolado em três camadas, cada uma com 80 espiras. As camadas têm raios ligeiramente diferentes: 3 cm, 3,05 cm e 3,1 cm. A corrente que passa pelo fio é de 5 A. Nosso objetivo aqui é encontrar a indução magnética, ou seja, o campo magnético, ao longo do eixo desse solenóide.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a fórmula para o campo magnético gerado por uma espira circular e como somar os campos de várias camadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético no eixo de uma única espira circular de raio $ r $ com corrente $ I $. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $)
- $ I $ é a corrente
- $ r $ é o raio da espira
- $ x $ é a distância ao longo do eixo a partir do centro da espira
Como queremos o campo ao longo do eixo do solenóide, vamos considerar $ x $ variando ao longo do comprimento do solenóide.
Passo 3
Agora, como temos três camadas de espiras com diferentes raios, precisamos calcular o campo magnético total somando o campo de cada camada. Cada camada tem 80 espiras, então o número total de espiras é $ N = 3 \times 80 = 240 $.
Entretanto, cada camada tem um raio diferente, então o campo de cada camada será um pouco diferente. Vamos chamar as três camadas de $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ com raios $ r_1 = 3 , cm $, $ r_2 = 3,05 , cm $ e $ r_3 = 3,1 , cm $ respectivamente.
Para cada camada, o campo magnético no eixo será:
Onde $ i = 1, 2, 3 $.
Passo 4
A indução magnética total $ B_{total}(x) $ ao longo do eixo do solenóide será a soma dos campos das três camadas:
Substituindo as expressões de cada camada:
Resposta
A indução magnética ao longo do eixo do solenóide é dada pela soma dos campos das três camadas:
Substituindo os valores fornecidos:
Essa expressão te dá o campo magnético em qualquer ponto $ x $ ao longo do eixo do solenóide.