Calcule o fluxo magnético na área quadrada delimitada pelos vértices , sabendo que a indução magnética é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo magnético através de uma área quadrada definida pelos vértices , , $ (5,1,-5)$ e $ (5,1,5)$. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo magnético da matéria de Eletromagnetismo, especificamente a integração de superfície do produto escalar entre o campo magnético $ \mathbf{B} $ e o vetor normal à superfície $ d\mathbf{S} $. Precisamos entender como parametrizar a superfície e calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. Observando os vértices, notamos que três deles têm $ y = 1 $ e um tem $ y = -1 $. Isso sugere que a superfície é um retângulo inclinado no espaço. Para simplificar, vamos parametrizar a superfície usando duas direções principais.
Passo 3
Vamos escolher dois vetores que definem a superfície. Observando os vértices, podemos usar:
Vetor de a :
Vetor de a $ (5,1,-5)$:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos o produto vetorial entre e :
Passo 5
Vamos normalizar o vetor normal n para obter o vetor unitário n:
Agora, vamos parametrizar a superfície. Podemos usar dois parâmetros $ u $ e $ v $ que variam de 0 a 1:
u
onde v .
Passo 7
O próximo passo é calcular o campo magnético $ \mathbf{B} $ na superfície parametrizada. Substituímos as coordenadas $ x, y, z $ da parametrização na expressão de $ \mathbf{B} $:
B
Passo 8
O fluxo magnético $ \Phi $ é calculado pela integral de superfície:
Phi
Como a superfície é um retângulo, a área $ dS $ pode ser calculada como o produto das magnitudes dos vetores Phi = integral duplaS B cdot n , dS e dS :
a
Passo 9
Vamos simplificar a integral, considerando que $ \mathbf{B} $ pode variar ao longo da superfície. No entanto, para simplificar, se assumirmos que $ \mathbf{B} $ é constante na superfície (o que geralmente não é o caso, mas serve para uma estimativa rápida), podemos calcular:
B
Substituindo:
B
Passo 10
Finalmente, calculamos o produto escalar e multiplicamos pela área: