O soluto de benzeno não adsorve nas superfícies internas dos poros. O benzeno é muito pouco solúvel em água e tem um diâmetro molecular de . O processo é isotérmico à 298 K . A concentração de benzeno dissolvido na água ao redor da partícula, , é constante com o tempo. O volume crítico de benzeno é de 259 cm³/gmol. O coeficiente de difusão efetiva do benzeno dentro da partícula porosa foi calculado no Problema 24.25.
Começando com a equação diferencial geral para transferência de massa de benzeno, desenvolva um modelo diferencial para descrever o perfil de concentração de benzeno, espécie A, dentro da partícula mineral inerte, porosa e esférica. Estabeleça hipóteses/condições iniciais razoáveis para o processo.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre transferência de massa do benzeno em uma partícula mineral porosa e esférica. A gente vai usar conceitos de difusão e propriedades físicas do benzeno para desenvolver um modelo diferencial que descreva como a concentração de benzeno varia dentro dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a equação geral de transferência de massa e adaptar para o caso específico da nossa partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação geral de transferência de massa, que nos ajuda a entender como a concentração de uma espécie química muda no tempo e no espaço. No caso da difusão, consideramos que não há advecção (movimento do fluido) e que a transferência é dominada pela difusão.
Passo 3
Como estamos lidando com uma partícula esférica, é mais conveniente usar coordenadas esféricas para descrever o perfil de concentração. A equação de difusão em coordenadas esféricas, assumindo simetria radial (ou seja, a concentração só depende da distância do centro), é dada por:
Aqui, é a concentração de benzeno, é o tempo, é a distância radial do centro da partícula, e é o coeficiente de difusão efetiva do benzeno dentro da partícula porosa.
Passo 4
Vamos estabelecer algumas hipóteses para simplificar o problema:
A partícula é perfeitamente esférica e homogênea.
Não há reação química dentro da partícula.
A concentração de benzeno na superfície da partícula () é constante e igual a .
A concentração no centro da partícula () não apresenta gradiente, ou seja, a derivada primeira da concentração em relação a é zero.
Passo 5
Com essas hipóteses, podemos definir as condições de contorno:
Na superfície da partícula ():
No centro da partícula ():
Passo 6
Além disso, vamos estabelecer a condição inicial, que é a concentração de benzeno dentro da partícula no tempo inicial (). Suponhamos que inicialmente não há benzeno dentro da partícula:
Passo 7
Com todas essas equações e condições estabelecidas, temos um modelo diferencial completo que descreve como a concentração de benzeno varia dentro da partícula ao longo do tempo. Esse modelo pode ser resolvido usando técnicas de separação de variáveis ou transformadas de Laplace, dependendo do nível de detalhamento necessário.
Resposta
O modelo diferencial que descreve o perfil de concentração de benzeno dentro da partícula porosa esférica é: