A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que descobrir as idades do pai e do filho. Sabemos que a soma das idades deles é 45 anos e que a idade do pai está para a idade do filho como 7 está para 2. Para resolver isso, vamos usar um pouco de algebra, que vai nos ajudar a montar equações e achar as idades.

Passo 2

Primeiro, vamos definir umas variáveis para facilitar. Vou chamar a idade do pai de $ P $ e a idade do filho de $ F $. Assim, temos duas informações pra usar:
  1. A soma das idades: $ P + F = 45 $
  2. A proporção das idades: $ \frac{P}{F} = \frac{7}{2} $

Passo 3

Vamos trabalhar com a segunda informação, a proporção. A regra da proporção diz que:
PF = 72
Isso significa que a idade do pai é $ \frac{7}{2} $ vezes a idade do filho. Então, podemos expressar $ P $ em termos de $ F $:
72

Passo 4

Agora, vamos usar essa expressão que encontramos para $ P $ e substituir na primeira equação, que é a soma das idades:
P
Para facilitar a resolução, vamos somar os termos que contêm $ F $. Primeiro, precisamos ter o mesmo denominador:
72 times F + F = 45
F

Passo 5

Agora, para encontrar $ F $, vamos isolar ele dividindo ambos os lados da equação por $ \frac{9}{2} $:
F
Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso:
92
Então, a idade do filho é 10 anos.

Passo 6

Com a idade do filho encontrada, podemos descobrir a idade do pai usando a relação que temos:
P = 72 times F = 72 times 10 = 35

Resposta

O pai tem 35 anos e o filho tem 10 anos.

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