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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integração. A gente precisa encontrar a antiderivada da função dada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e simplificação de frações. Olha só o que temos que fazer:
Queremos calcular a integral de:
E escolher a resposta correta entre as opções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que vamos integrar. A função que temos é:
Vamos multiplicar o numerador:
e
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma substituição que possa simplificar a integral. Observamos que o denominador é , então uma boa escolha seria definir . Vamos seguir essa ideia.
Definindo:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas no numerador, temos , que não parece se relacionar diretamente com . Parece que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 4

Vamos tentar escrever o numerador de uma forma que envolva e . Observamos que:
Então, podemos reescrever a integral como:
Simplificando:

Passo 5

Agora, voltamos à substituição . Vamos expressar em termos de para simplificar os termos restantes. Mas parece que isso não está simplificando como queríamos. Vamos reconsiderar nossa estratégia.
Observando de novo:
Podemos dividir a integral em duas partes:

Passo 6

Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
Podemos simplificar dividindo:
Então, a integral se torna:
Essa expressão ainda parece complicada, então vamos deixar essa parte de lado por enquanto e focar na segunda integral.
Segunda integral:
Aqui, podemos tentar uma substituição diferente. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas isso não ajuda muito, pois ainda temos no numerador. Parece que precisamos de outra abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição mais direta. Observamos que o denominador é e o numerador envolve . Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas ainda não parece se encaixar perfeitamente. Talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 8

Vamos tentar outra estratégia: reconhecimento de derivadas. Sabemos que a derivada de é:
Mas ainda não coincide com nosso numerador. Vamos pensar em uma função cujo denominador seja . Talvez uma função racional.
Vamos tentar encontrar uma função cuja derivada seja .

Passo 9

Vamos supor que , onde e são constantes a serem determinadas. Então, a derivada de é:
Queremos que isso seja igual a . Vamos igualar os numeradores:
Simplificando e comparando os coeficientes, podemos determinar e .
Vamos tentar :
Expandindo:
Combinando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Da segunda equação, . Mas a primeira equação dá , o que não faz sentido. Então, nossa suposição está errada.

Passo 10

Vamos tentar uma abordagem diferente, reconhecendo que a função pode ser expressa como a derivada de uma função racional. Observamos que a função dada pode ser reescrita como:
Podemos tentar expressar isso como a derivada de . Mas já vimos que essa abordagem fica complicada. Talvez a resposta correta seja uma das opções dadas que não requer uma antiderivada complicada.

Passo 11

Revisando as opções disponíveis, notamos que a opção mais simples e que poderia corresponder à integral é:
Vamos verificar se essa é a antiderivada da função dada.
Calculando a derivada de :
Isso não coincide com a nossa função original, que é .

Passo 12

Vamos testar outra opção. Considere a opção:
Calculando a derivada:
Isso também não coincide com a nossa função original.

Passo 13

Vamos verificar a opção:
A derivada dessa expressão seria:
çã
Isso implica que esta opção é a própria função que estamos integrando, não sua antiderivada.

Passo 14

Por fim, consideremos a opção:
Essa expressão parece bastante complexa e não corresponde a uma antiderivada comum.
Como nenhuma das opções testadas corresponde exatamente à antiderivada da nossa função original, é possível que haja um erro nas opções fornecidas ou que a integral exija técnicas mais avançadas que não foram abordadas aqui.

Resposta

Após analisar todas as opções, nenhuma delas corresponde exatamente à antiderivada da função dada. Portanto, é provável que haja um erro nas opções fornecidas ou que a integral necessite de uma técnica mais avançada para ser resolvida corretamente.

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somente.
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so- não existe tal mente. intervalo.
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