Supondo que em 2015 a rentabilidade das cadernetas de poupança foi de 31,66% a.a é correto afirmar que a taxa equivalente trimestral foi de, aproximadamente:
A) 6,98% a.t
B) 6,70% a.t
C) 7,59% a.t
D) 7,12% a.t
E) 8,25% a.t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a rentabilidade das cadernetas de poupança em 2015, que foi de 31,66% ao ano. A gente precisa descobrir qual seria a taxa equivalente trimestral dessa rentabilidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de juros compostos e taxa de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que 31,66% ao ano significa que, ao final de um ano, o dinheiro rende 31,66%. Mas queremos saber quanto rende em cada trimestre (a cada 3 meses). Como um ano tem 4 trimestres, precisamos distribuir essa rentabilidade de forma equivalente em cada período.

Passo 3

A gente vai usar a fórmula dos juros compostos para converter a taxa anual para trimestral. A fórmula geral é:
(1 + ianual) = (1 + itrimestral)^4
Aqui, $ i_{anual} $ é a taxa anual (31,66% ou 0,3166) e $ i_{trimestral} $ é a taxa que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
1 + 0,3166 = (1 + itrimestral)^4
1,3166 = (1 + itrimestral)^4

Passo 5

Para encontrar $ i_{trimestral} $, precisamos tirar a raiz quarta de 1,3166. Isso significa elevar 1,3166 à potência de $ \frac{1}{4} $:
itrimestral

Passo 6

Calculando a raiz quarta:
1 + itrimestral approx 1,3166^0,25 approx 1,0698

Passo 7

Agora, isolamos $ i_{trimestral} $:
itrimestral
itrimestral = 1,0698 - 1 = 0,0698

Resposta

A taxa equivalente trimestral é de 6,98% a.t.

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