Supondo que 30 % dos alunos vivam em apartamentos. Se 200 alunos forem selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade do número de alunos, que vivem em apartamentos, estar entre 50 e 75 , inclusive?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Sabe que 30% dos alunos moram em apartamentos. Agora, queremos descobrir qual é a chance de, se a gente pegar 200 alunos de forma aleatória, entre 50 e 75 deles morarem em apartamentos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial e, como o número de alunos é grande, vamos usar a aproximação normal para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso). Nesse caso:
  • Número de tentativas (n): 200 alunos
  • Probabilidade de sucesso §: 30% ou 0,3 (um aluno morar em apartamento)

Passo 3

Agora, vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) dessa distribuição. A média da binomial é dada por:
mu = n times p = 200 times 0,3 = 60
E o desvio padrão é:
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz200 times 0,3 times 0,7 approx raiz42 approx 6,48

Passo 4

Como o número de tentativas é grande, podemos usar a aproximação normal para estimar a probabilidade. Para isso, vamos padronizar os valores de 50 e 75 usando a fórmula do z-score:
z = x - musigma
Para x = 50:
z1 = 50 - 606,48 approx -106,48 approx -1,54
Para x = 75:
z2 = 75 - 606,48 approx 156,48 approx 2,31

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades associadas a esses z-scores.
  • Para z = -1,54, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,0618.
  • Para z = 2,31, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9896.
Para encontrar a probabilidade de estar entre 50 e 75 alunos, subtraímos as duas:
P(50 <= X <= 75) = 0,9896 - 0,0618 = 0,9278

Resposta

A probabilidade de, entre 200 alunos selecionados aleatoriamente, entre 50 e 75 morarem em apartamentos é de aproximadamente 92,78%.

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